Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng $\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của $A$ trên mp $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ trùng với trung điểm $I$ của $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách từ $A{A}^{\prime }$ đến mặt bên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: đặt $B^{\prime }=(0,0,0)$, $C^{\prime }=(\sqrt{3},0,0)$, trung điểm $I=(\frac{\sqrt{3}}{2},0,0)$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều cạnh $\sqrt{3}$ nên $A^{\prime }=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},0)$. Vì $AI\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $A{A}^{\prime }=\sqrt{3}$ nên $AI=\sqrt{A{A}^{\prime 2}-A^{\prime }{I}^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}$, do đó $A=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2})$. Cạnh bên $\sqrt{3}$ nên $B=(0,0,\sqrt{3})$, $C=(\sqrt{3},0,\sqrt{3})$. Mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là mặt $y=0$. Vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên khoảng cách từ đường thẳng $A{A}^{\prime }$ đến mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng đó, tức bằng tung độ của $A$: $d=\frac{3}{2}$.