Một căn bệnh có 1\% dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là: Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 98\%. Với những người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chẩn đoán đúng 98 trong 100 trường hợp không mắc bệnh (tức là có 2 người không mắc bệnh nhưng xuất hiện dương tính “giả”). Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu

Một phần mềm nhận dạng tin nhắn quảng cáo trên điện thoại bằng cách dựa theo từ khóa để đánh dấu một số tin nhắn được gửi đến. Qua một thời gian dài sử dụng, người ta thấy rằng trong số tất cả các tin nhắn gửi đến, có 15\% số tin nhắn bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh dấu, có 10\% số tin nhắn không phải là quảng cáo. Trong số các tin nhắn không bị đánh dấu, có 15\% số tin nhắn là quảng cáo. Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn được gửi đến điện thoại.

Một nhà máy lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp $65\%$ chi tiết, máy thứ hai cung cấp $35\%$ chi tiết. Khoảng $80\%$ chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn $85\%$ chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ nhà máy một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một cặp sinh đôi được gọi là "sinh đôi thật" nếu chúng do cùng một trứng sinh ra và trong trường hợp này bao giờ cũng cùng giới tính. Nếu cặp đó do các trứng khác nhau sinh ra thì xác suất để cặp sinh đôi có cùng giới tính là $\frac{1}{2}$. Giả sử xác suất để cặp sinh đôi do cùng một trứng sinh ra bằng $p$ (trên tổng số trẻ sinh đôi). Gọi $A_1$ là biến cố để cặp sinh đôi là sinh đôi thật, $A_2$ là biến cố để cặp sinh đôi là do hai trứng sinh ra và $H$ là biến cố để cặp sinh đôi có cùng giới tính. Khi đó:

Một xét nghiệm y tế để phát hiện một loại bệnh có độ chính xác như sau: Nếu một người mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $0,8$. Nếu một người không mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $0,4$. Biết rằng tỉ lệ người mắc bệnh trong cộng đồng là $0,5$. Nếu một người có kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất để người đó thực sự mắc bệnh là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một khảo sát về sở thích môn học của 100 học sinh được cho bởi bảng dữ liệu sau: Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết rằng học sinh đó là Nam, xác suất để học sinh này thích Toán là

Giả sử một nghiên cứu về mối quan hệ giữa việc người lái xe máy đội mũ bảo hiểm và tình trạng chấn thương não khi bị tai nạn thu được bảng sau:



Tính xác suất một người tai nạn bị chấn thương não biết người đó không đội mũ bảo hiểm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).