Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P(\overline{A})\cdot P(B\mid \overline{A})=0,75\cdot 0,4+0,25\cdot 0,9=0,3+0,225=0,525=\frac{21}{40}$.
Lại có $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=0,75\cdot 0,4=0,3=\frac{3}{10}$.
Do đó $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,3}{0,525}=\frac{300}{525}=\frac{4}{7}$.
Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T là biến cố 'quả bóng lấy từ hộp II chính là quả bóng được chuyển từ hộp I sang', R là biến cố 'quả bóng lấy từ hộp II có màu đỏ'. Cần tính P(T|R) = P(T∩R)/P(R).

- Xác suất chuyển quả bóng đỏ từ hộp I: P(T) = 6/10 = 3/5; chuyển quả vàng: P(T') = 4/10 = 2/5.
- Nếu chuyển quả đỏ sang, hộp II có 11 quả trong đó 6 quả đỏ nên P(R|T) = 6/11.
- Nếu chuyển quả vàng sang, hộp II có 11 quả trong đó 7 quả đỏ nên P(R|T') = 7/11.

Công thức xác suất toàn phần:
P(R) = (3/5)(6/11) + (2/5)(7/11) = 18/55 + 14/55 = 32/55.

P(T∩R) = (3/5)(6/11) = 18/55.

Vậy P(T|R) = (18/55)/(32/55) = 18/32 = 9/16 = 0,5625 ≈ 0,56.

Lưu ý: trường explanation gốc đã tính đúng P(R|T') = 7/11 và kết quả 9/16 ≈ 0,56; thông tin trong trường errors là nhận định sai, không ảnh hưởng đến lời giải. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: 0,56.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 12B1 có 40 học sinh: 60% xuất sắc nên có 24 em xuất sắc, 40% giỏi nên có 16 em giỏi. Trong số học sinh loại giỏi có 8 em đạt từ 9 điểm trở lên; 75% học sinh đạt từ 9 điểm trở lên là xuất sắc nên 8 em giỏi chiếm 25%, suy ra tổng số em đạt từ 9 trở lên là 8/0,25 = 32 em, trong đó xuất sắc là 32 − 8 = 24 em.
a) Sai: tỉ lệ đạt từ 9 trở lên là 32/40 = 80%, không phải 70%.
b) Đúng: số xuất sắc đạt từ 9 trở lên là 24 em bằng đúng tổng số học sinh xuất sắc, nên mọi học sinh xuất sắc đều có điểm ≥ 9.
c) Đúng: chỉ có 40 − 32 = 8 em dưới 9 điểm, và 8 em này đều thuộc nhóm giỏi (vì 8 em giỏi có điểm ≥ 9, tức 8 em giỏi còn lại có điểm < 9).
d) Đúng: học sinh giỏi có điểm trên 9: 37,5% của 16 = 6 em; giỏi có điểm bằng 9: 8 − 6 = 2 em. Gọi y là số học sinh xuất sắc có điểm bằng 9, theo giả thiết trong số học sinh có điểm bằng 9 thì có 50% là xuất sắc: y = 50%·(y + 2) ⇒ y = 2. Vậy số học sinh xuất sắc có điểm trên 9: 24 − 2 = 22 em.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số em đạt từ 9 điểm trở lên là 32/40 = 80%, không phải 70%.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số xuất sắc đạt từ 9 trở lên là 24 em bằng đúng tổng số học sinh xuất sắc, nên tất cả đều có điểm ≥ 9.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có 8 em dưới 9 điểm và tất cả đều là học sinh loại giỏi.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giỏi trên 9: 37,5% của 16 = 6 em; giỏi bằng 9: 8 − 6 = 2 em. Gọi y là số xuất sắc có điểm bằng 9, theo giả thiết y = 50%·(y + 2) ⇒ y = 2. Vậy xuất sắc có điểm trên 9: 24 − 2 = 22 em.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất một khách hàng trả lời 'sẽ mua', 'có thể sẽ mua', 'không mua' lần lượt là 50/200, 90/200, 60/200. Xác suất thực sự mua: P(M) = (50·0,6 + 90·0,4 + 60·0,01)/200 = (30 + 36 + 0,6)/200 = 66,6/200. Xác suất khách trả lời 'sẽ mua' biết rằng họ thực sự mua: P = 30/66,6 = 300/666 = 50/111. Vậy a = 50, b = 111, T = (1/2)·50 + 111 = 136.

(AI giải đề cho tôi)
Từ dữ liệu: $P(B)=\frac{175}{300}=\frac{7}{12}$, $P(\overline{B})=\frac{125}{300}=\frac{5}{12}$. a) SAI vì $P(B)=\frac{7}{12}\ne \frac{5}{12}$. b) Theo đề, tỉ lệ thực sự thích trong nhóm trả lời 'thích' là 60%, tức $P(A|B)=0,6$: ĐÚNG. c) Công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=\frac{7}{12}\cdot 0,6+\frac{5}{12}\cdot 0,4=\frac{4,2+2}{12}=\frac{6,2}{12}=\frac{31}{60}$: ĐÚNG. d) $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{7}{12}\cdot 0,6}{\frac{31}{60}}=\frac{0,35\cdot 60}{31}=\frac{21}{31}\approx 0,677=67,7\%$: ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=\frac{175}{300}=\frac{7}{12}$ và $P(\overline{B})=\frac{125}{300}=\frac{5}{12}$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo kinh nghiệm, trong nhóm trả lời 'thích' có 60% thực sự thích, tức $P(A|B)=0,6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(A)=\frac{7}{12}\cdot 0,6+\frac{5}{12}\cdot 0,4=\frac{31}{60}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{7}{12}\cdot 0,6}{\frac{31}{60}}=\frac{21}{31}\approx 67,7\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là biến cố 'bạn được gọi có tên Hiền', N là 'bạn được gọi là nữ'. Lớp có 30 học sinh: 17 nữ, 13 nam; trong 3 bạn tên Hiền có 1 nữ và 2 nam.
a) $P(H)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$ → đúng.
b) $P(H|N)=\frac{P(H\cap N)}{P(N)}=\frac{1/30}{17/30}=\frac{1}{17}\ne \frac{3}{17}$ → sai.
c) $P(H|\overline{N})=\frac{2/30}{13/30}=\frac{2}{13}$ → đúng.
d) $P(N|H)=\frac{P(H\cap N)}{P(H)}=\frac{1/30}{3/30}=\frac{1}{3}\ne \frac{3}{17}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 3 bạn tên Hiền trong 30 học sinh nên $P=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong 17 bạn nữ chỉ có 1 bạn tên Hiền nên $P(H|N)=\frac{1}{17}\ne \frac{3}{17}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong 13 bạn nam có 2 bạn tên Hiền nên $P(H|\overline{N})=\frac{2}{13}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong 3 bạn tên Hiền có 1 bạn nữ nên $P(N|H)=\frac{1}{3}\ne \frac{3}{17}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T là biến cố bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng. Ta có P(T)=0,5·0,05+0,5·0,10=0,075.
a) Theo Bayes: P(B|T)=P(T|B)P(B)/P(T)=(0,10·0,5)/0,075=0,05/0,075=2/3≈0,6667>0,65 → đúng.
b) P(T)=0,075 → đúng.
c) Trong mỗi phác đồ hai biến cố độc lập: P(khỏi và không T | A)=0,6·0,95=0,57; P(khỏi và không T | B)=0,7·0,9=0,63. Vậy P(khỏi và không T)=0,5·0,57+0,5·0,63=0,6 → đúng.
d) P(A và khỏi)=0,5·0,6=0,3≠0,6 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(B|T)=(0,10·0,5)/0,075=2/3≈0,6667>0,65.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(T)=0,5·0,05+0,5·0,10=0,075.
c) (AI giải đề cho tôi)
Do độc lập: 0,5·(0,6·0,95)+0,5·(0,7·0,9)=0,5·(0,57+0,63)=0,6.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(A và khỏi)=0,5·0,6=0,3, không phải 0,6.

(AI giải đề cho tôi)
Số người không đội mũ bảo hiểm: 366 + 65 = 431. Trong đó bị chấn thương não: 366. Xác suất cần tính: P(chấn thương não | không đội mũ) = 366/431 ≈ 0,849 → làm tròn đến hàng phần trăm là 0,85.

Gọi $A$: "biến cố bị cận", $B$: "biến cố là nữ". Xác suất bạn nữ bị cận: $P=\frac{P(A|B)}{P(B)}=\frac{0,25}{1-0,45}=\frac{5}{11}$.

Gọi $A$: “con thỏ bắt ở chuồng 2 chính là thỏ được chuyển từ chuồng 1”, $B$: “con thỏ bắt ra màu trắng”. Chuồng 1: 7 trắng, 5 nâu $\Rightarrow$ tổng 12. Chuồng 2 ban đầu: 5 trắng, 3 nâu $\Rightarrow$ tổng 8. Chuyển 2 con từ chuồng 1 sang chuồng 2 $\Rightarrow$ chuồng 2 có tổng 10. Gọi $E_k$: “là số thỏ trắng được chuyển sang (từ chuồng 1)”, $k\in \{0,1,2\}$. Khi đó:
$$P(E_k)=\frac{C_7^k\cdot C_5^{2-k}}{C_{12}^2}\Rightarrow \{\begin{array}{l}P(E_0)=\frac{10}{66}\\ P(E_1)=\frac{35}{66}\\ P(E_2)=\frac{21}{66}\end{array}$$
Nếu chuyển $k$ con trắng thì trong chuồng 2 có $5+k$ con trắng (tổng 10). Xác suất bắt được thỏ chuyển và màu trắng: $P\left(A\cap B|E_k\right)=\frac{k}{10}.$ Xác suất bắt được màu trắng: $P\left(B|E_k\right)=\frac{5+k}{10}.$
Suy ra $P(A\cap B)={\sum }_{k=0}^{2}P(E_k)\frac{k}{10}=\frac{77}{660}$ và $P(B)={\sum }_{k=0}^{2}P(E_k)\frac{5+k}{10}=\frac{37}{60}$. Do đó theo Bayes: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{77}{660}}{\frac{37}{60}}=\frac{7}{37}\approx 0,19$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'học sinh được chọn là nữ', B là biến cố 'học sinh bị cận thị'. Ta có $P(A)=1-0,45=0,55$ và $P(B\cap A)=0,25$ (số nữ bị cận thị chiếm 25% cả lớp). Xác suất cần tìm là $P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{0,25}{0,55}=\frac{25}{55}=\frac{5}{11}$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$, $II$ là biến cố linh kiện do nhà máy I, II sản xuất; $D$ là biến cố linh kiện là phế phẩm. Ta có $P(I)=\frac{110}{200}=0,55$, $P(II)=\frac{90}{200}=0,45$; $P(D|I)=0,03$, $P(D|II)=0,02$.
a) $P(I)=\frac{110}{200}=0,55$ → đúng.
b) Xác suất linh kiện tốt biết thuộc nhà máy I là $P(\overline{D}|I)=1-0,03=0,97$, không phải $0,5335$ → sai. (Số $0,5335$ chính là $P(I\cap \overline{D})=0,55\cdot 0,97$.)
c) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(D)=0,55\cdot 0,03+0,45\cdot 0,02=0,0165+0,009=0,0255\ne 0,0245$ → sai.
d) $P(\overline{D})=1-0,0255=0,9745$. Theo công thức Bayes: $P(I|\overline{D})=\frac{0,5335}{0,9745}\approx 0,5475$; $P(II|\overline{D})=\frac{0,45\cdot 0,98}{0,9745}=\frac{0,441}{0,9745}\approx 0,4525$. Vì $0,5475>0,4525$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(I)=\frac{110}{110+90}=\frac{110}{200}=0,55$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{D}|I)=1-0,03=0,97\ne 0,5335$. Số $0,5335$ là $P(I\cap \overline{D})=0,55\cdot 0,97$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(D)=0,55\cdot 0,03+0,45\cdot 0,02=0,0255\ne 0,0245$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(I|\overline{D})=\frac{0,5335}{0,9745}\approx 0,5475>P(II|\overline{D})=\frac{0,441}{0,9745}\approx 0,4525$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A_k$ là biến cố chuyển $k$ con thỏ trắng từ chuồng nhất sang chuồng hai ($k=0,1,2$):
$$P(A_2)=\frac{C_7^2}{C_{12}^2}=\frac{21}{66}=\frac{7}{22},P(A_1)=\frac{7\cdot 5}{C_{12}^2}=\frac{35}{66},P(A_0)=\frac{C_5^2}{C_{12}^2}=\frac{10}{66}.$$
Sau khi chuyển, chuồng hai có 10 con. Xác suất bắt được thỏ trắng:
$$P(W\mid A_2)=\frac{7}{10},P(W\mid A_1)=\frac{6}{10},P(W\mid A_0)=\frac{5}{10}.$$
Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(W)=\frac{7}{22}\cdot \frac{7}{10}+\frac{35}{66}\cdot \frac{6}{10}+\frac{10}{66}\cdot \frac{5}{10}=\frac{147+210+50}{660}=\frac{407}{660}.$$
Xác suất cần tìm (Bayes):
$$P=\frac{P(A_2)P(W\mid A_2)+P(A_1)P(W\mid A_1)}{P(W)}=\frac{147+210}{407}=\frac{357}{407}\approx 0,8771\approx 0,88.$$

(AI giải đề cho tôi)
Sau khi lần thứ nhất lấy được thẻ đỏ, hộp còn 24 thẻ trong đó 15 thẻ xanh. Xác suất lần thứ hai lấy được thẻ xanh là $\frac{15}{24}=\frac{5}{8}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất có điều kiện: $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0,4}{0,6}=\frac{2}{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố 'lần thứ nhất lấy được bi đen', $B$ là biến cố 'lần thứ hai lấy được bi đen'. Cần tính $P(B|A)$. Sau khi lần thứ nhất đã lấy được 1 bi đen (không trả lại), hộp còn lại 12 viên bi trong đó có 8 bi đen và 4 bi trắng. Do đó $P(B|A)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện: $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ và nhân xác suất $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$. Suy ra $P(B|A)=\frac{P(B)\cdot P(A|B)}{P(A)}$, đúng với đáp án A. Các phương án B, C, D đều sai vì không phải công thức tính $P(B|A)$ (B và D sai công thức, C thiếu nhân tử $P(A|B)$).

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề: $P(A)=0,4$, $P(\bar{A})=0,6$; $P(B|A)=0,3$, $P(B|\bar{A})=0,4$. Công thức xác suất toàn phần: $P(B)=0,4\cdot 0,3+0,6\cdot 0,4=0,12+0,24=0,36$. Xác suất cần tìm: $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\frac{0,12}{0,36}=\frac{1}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề: $P(A)=0,1$, $P(B|A)=0,45$, $P(B|\overline{A})=0,25$. Theo sơ đồ hình cây, xác suất có phản ứng phụ: $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0,1\cdot 0,45+0,9\cdot 0,25=0,045+0,225=0,27$. Xác suất đồng thời: $P(A\cap B)=0,1\cdot 0,45=0,045$. Vậy $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,045}{0,27}=\frac{45}{270}=\frac{1}{6}$. Đáp án B.