Đề Cương Ôn Tập Toán 12 Cuối Học Kỳ II 2025-2026

Cho đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;-4;-6)$. Vectơ nào sau đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$?

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{1-z}{-4}$. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+3t\\ z=2t\end{array}$, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $\Delta$?

Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ với $A(1;1;2)$ và $B(-4;3;-2)$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(2;0;-1)$ và vuông góc mặt phẳng $(P):2x-y+z+3=0$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-7}{5}$, đường thẳng nào dưới đây đi qua hình chiếu của điểm $Q(3;-5;7)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ và song song đường thẳng $\Delta$?

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm $A(3;-3;2)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng ${\Delta }_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-3}=\frac{z+3}{2}$. Đường thẳng $d_2$ vuông góc với ${\Delta }_2$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ chỉ phương là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$ với tốc độ là 4,5 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).



Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ $x_B=550$, khi đó quãng đường $AB$ dài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, chiều cao bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy; $M$ là trung điểm của cạnh $SB$. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên dưới, cosin của góc giữa đường thẳng $DM$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba mặt phẳng $(\alpha ):x+y+2z+1=0$, $(\beta ):x+y-z+2=0$, $(\gamma ):x-y+5=0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}$ và $d^{\prime }:\frac{x-6}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{1}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\\ z=t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=-2t^{\prime }\\ y=-5+3t^{\prime }\\ z=4+t^{\prime }\end{array}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x+5y-z-2=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trong không gian $Oxyz$, góc giữa hai đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và $d:\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-2+t\\ z=1+t\end{array}$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1$ và đường thẳng $d_2$ lần lượt có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{d_1}=(1;-2;-3)$ và ${\vec{u}}_{d_2}=(-4;1;5)$. Góc giữa hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, góc giữa đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=2+3t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x-y-2z+4=0$ bằng (kết quả làm tròn đến độ).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$ và $(Q):x+y+z-1=0$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left(\frac{8}{3};0;0\right)$, $B(0;2;0)$, $C\left(0;0;\frac{8}{5}\right)$ và $\Delta :\frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z-5}{-5}$. Khi đó góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng

Cho hai biến cố A và B bất kỳ, với P(B) > 0. Khi đó, khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hai biến cố A, B là hai biến cố độc lập với $P(A)=0,1997$, $P(B)=0,1994$. Tính $P(A|B)$.

Cho hai biến cố A, B là hai biến cố độc lập với $P(A)=0,2025$, $P(B)=0,2026$. Tính $P(B|\overline{A})$.

Một hộp kín có 10 thẻ màu đỏ và 15 thẻ màu xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ, không trả lại. Xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ màu xanh, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được thẻ màu đỏ.

Cho hai biến cố A và B với $P(A)=0,6$, $P(B)=0,8$, $P(A\cap B)=0,4$. Tính $P(A|B)$.

Một công ty bất động sản đấu giá quyền sử dụng hai mảnh đất độc lập. Khả năng trúng đấu giá cao nhất của mảnh đất số 1 là 0,7 và mảnh đất số 2 là 0,8. Xác suất để công ty trúng giá cao nhất mảnh đất số 2, biết công ty trúng giá cao nhất mảnh đất số 1 là

Cho hai biến cố A và B với $P(A)=0,85$, $P(B)=0,7$, $P(A\overline{B})=0,58$. Tính $P(\overline{A}B)$.

Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5, biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 3 chấm.

Một hộp có 10 viên bi trắng và 15 viên bi đỏ, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp và không trả lại. Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên thêm một viên bi nữa trong hộp đó. Gọi A là biến cố: "Lần thứ hai lấy được 1 viên bi trắng". Gọi B là biến cố: "Lần thứ nhất lấy được 1 viên bi đỏ". Tính $P(A|B)$.

Trong một hộp kín có 30 thẻ Ticket, trong đó có 2 thẻ trúng thưởng. Bạn Mai Linh được chọn lên bốc thăm lần lượt hai thẻ, không trả lại. Xác suất để cả hai thẻ đều là hai thẻ trúng thưởng là

Cho 2 biến cố A và B. Tìm $P(A)$ biết $P(A|B)=0,8$; $P(A|\overline{B})=0,3$; $P(B)=0,4$.

Hai máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất 35\%, máy II sản xuất 65\% tổng sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là 0,3\% và 0,7\%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho. Tính xác suất để chọn được phế phẩm.

Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các xạ thủ loại I là 0,9 và loại II là 0,7. Chọn ngẫu nhiên ra một xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất để viên đạn đó trúng đích.

Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai. Xác suất để lấy ra hai viên bi đỏ ở hộp thứ hai là

Cho 2 biến cố $A,B$ thỏa mãn $P(A)=0,4;P(B)=0,3;P(A|B)=0,25$. Khi đó, $P(B|A)$ bằng

Cho hai biến cố $A$ và $B$, với $P(A)=0,2;P(B|A)=0,7;P(B|\overline{A})=0,15$. Tính $P(A|B)$.

Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có $3\%$ tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Người ta nhận thấy khi tài xế lái xe gây tai nạn thì có $21\%$ là do tài xế sử dụng điện thoại. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?

Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh X nghiện thuốc lá là $20\%$; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $70\%$, trong số người không nghiện thuốc lá là $15\%$. Khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh X, xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là

Giả sử có một loại bệnh $S$ mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,1\%$. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh $S$ khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính là $5\%$ (tức là trong số những người không bị bệnh $S$ có $5\%$ số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính). Khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh $S$ của người đó là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trường THPT Hòa Bình có $20\%$ học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có $85\%$ học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có $10\%$ số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là:

Câu 41 (nội dung câu hỏi không được cung cấp trong các trang đã cung cấp; nhãn Câu 41 được liệt kê trong questionLabels của trang 9 nhưng văn bản câu hỏi không xuất hiện trong dữ liệu trang).

Câu 42 (nội dung câu hỏi không được cung cấp trong các trang đã cung cấp; nhãn Câu 42 được liệt kê trong questionLabels của trang 9 nhưng văn bản câu hỏi không xuất hiện trong dữ liệu trang).

Câu 43 (nội dung câu hỏi không được cung cấp trong các trang đã cung cấp; nhãn Câu 43 được liệt kê trong questionLabels của trang 9 nhưng văn bản câu hỏi không xuất hiện trong dữ liệu trang).

Câu 44 (nội dung câu hỏi không được cung cấp trong các trang đã cung cấp; nhãn Câu 44 được liệt kê trong questionLabels của trang 9 nhưng văn bản câu hỏi không xuất hiện trong dữ liệu trang).

Câu 45 (nội dung câu hỏi không được cung cấp trong các trang đã cung cấp; nhãn Câu 45 được liệt kê trong questionLabels của trang 9 nhưng văn bản câu hỏi không xuất hiện trong dữ liệu trang).

Câu 46 bị cắt ngang cuối trang 9: chỉ có đề bài, các phương án A–D nằm ở trang tiếp theo (không được cung cấp). Văn bản đề bài của Câu 46 không xuất hiện trong dữ liệu trang đã cung cấp.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0$. Xác định tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=9$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(S)$ lần lượt là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(3;1;0)$. Mặt cầu đường kính $AB$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $I(1;0;-1)$ và $A(2;2;-3)$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và đi qua điểm $A$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;-3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y-z+12=0$. Phương trình của $(S)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(3;4;0)$, $B(2;5;4)$, $C(-1;1;1)$, $D(3;5;3)$. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$. Trong các điểm có tọa độ lần lượt là $(0;0;0)$, $(1;2;3)$, $(2;0;6)$ thì có bao nhiêu điểm trên mặt cầu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+y^2+z^2=9$ và $(S^{\prime }):(x+2{)}^2+y^2+z^2=4$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S^{\prime }):(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=9$ và ba điểm $A(1;0;0)$, $B(2;1;3)$, $C(0;2;-3)$. Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn biểu thức $M{A}^2+2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=8$ là đường tròn cố định, bán kính $r$ của đường tròn này là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-5z+4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+5}{6}$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $(P)$.

Trong không gian $(Oxyz)$, cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-2+5t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+s\\ y=2+s\\ z=1+3s\end{array}$

Trong không gian $(Oxyz)$, cho đường thẳng $d:\frac{x+4}{3}=\frac{y-5}{-4}=\frac{z+2}{1}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+z-4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;2)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}$.

Trong không gian $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ điểm $A(1;3;4)$ và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi, vecto vận tốc (trên giây) là $\overrightarrow{v}=(2;1;6)$

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 $m$ vuông góc với mặt đất có chân cột đặt tại vị trí $O$ trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời thì bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 $m$ về hướng $S60^{\circ }E$ (hướng tạo với hướng nam góc $60^{\circ }$, tạo với hướng đông góc $30^{\circ }$). Chọn hệ trục $Oxyz$ có gốc tọa độ là $O$, tia $Ox$ chỉ hướng nam, tia $Oy$ chỉ hướng đông, tia $Oz$ chứa cây cột, đơn vị đo là mét.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$, $(Q):x+my+(m-1)z+2019=0$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q):-3x+7y-9z-5=0$

Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo cáp có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$ với tốc độ $4,5(m/s)$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) được mô hình hóa như các hình vẽ sau:

Một hộp quà được gắn với hệ tọa độ $Oxyz$ như hình có cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng $x$ sao cho $O=D_1$, $C_1\in Ox$, $A_1\in Oy$, $D\in Oz$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilomet). Một máy bay đang ở vị trí $A(3,5;-2;0,4)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(3,5;5,5;0)$ trên đường băng $EG$.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+1=0$ có tâm $I$ và bán kính $R$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: