Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trung bình cộng: $\bar{x}=\frac{21+22+23+24+25}{5}=23$. Phương sai: $s^2=\frac{(21-23{)}^2+(22-23{)}^2+(23-23{)}^2+(24-23{)}^2+(25-23{)}^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=\frac{10}{5}=2$. Vậy $s^2=2$, chọn C.

Từ biểu đồ ở trang 8, số lượng khách tại các mốc thời điểm 9h, 11h, 13h, 15h, 17h lần lượt là: 40; 50; 20; 35; 45.

Sắp xếp mẫu số liệu (n = 5) theo thứ tự không giảm: 20; 35; 40; 45; 50.

Vì n = 5 lẻ, tứ phân vị thứ hai (trung vị) là giá trị ở vị trí giữa: $Q_2=40$.

Xác định $Q_1$ là trung vị của dãy gồm các giá trị từ đầu dãy đến vị trí của $Q_2$: dãy {20; 35; 40} nên $Q_1=35$.

Xác định $Q_3$ là trung vị của dãy gồm các giá trị từ vị trí của $Q_2$ đến cuối dãy: dãy {40; 45; 50} nên $Q_3=45$.

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=45-35=10$.

Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{10\cdot 2+12\cdot 2+15\cdot 3+18\cdot 3+19\cdot 1+19,5\cdot 1}{12}=\frac{181,5}{12}=15,125$.
Tổng bình phương: $\sum x_i^2{n}_i=100\cdot 2+144\cdot 2+225\cdot 3+324\cdot 3+361\cdot 1+380,25\cdot 1=2876,25$.
Phương sai: $s^2=\frac{2876,25}{12}-15,125^2=239,6875-228,765625=10,921875$.
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{10,921875}\approx 3,3048\approx 3,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu: 96; 80; 76; 77; 72. Giá trị lớn nhất là 96, giá trị nhỏ nhất là 72. Khoảng biến thiên $R=96-72=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=x_{max}-x_{min}=10-5=5$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n=27. a) Tần số lớn nhất là 8 ứng với giá trị 4 nên M_o=4, đúng. b) Trung vị là giá trị thứ 14 (vị trí tích lũy: 1,5,12,20,25,27), tức giá trị 3, nên M_e=3≠8, sai. c) Tổng tần số 27; tổng x_i f_i = 1+8+21+32+25+12 = 99 nên mean = 99/27 = 11/3; tổng x_i² f_i = 1+16+63+128+125+72 = 405 nên E[X²]=15; phương sai s² = 15 − (11/3)² = 14/9 ≈ 1,56, đúng. d) Q1 là giá trị thứ 7 = 2, Q3 là giá trị thứ 21 = 4, IQR = 2; khoảng cách ngoại lai: [Q1−1,5·IQR; Q3+1,5·IQR] = [−1; 7], giá trị 6 nằm trong khoảng nên không phải số liệu bất thường, sai. Khớp đáp án bảng: a Đ, b S, c Đ, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tần số lớn nhất là 8 ứng với giá trị 4 nên M_o=4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 14 trong mẫu (n=27) là 3, nên M_e=3, không phải 8.
c) (AI giải đề cho tôi)
mean=99/27=11/3, E[X²]=405/27=15, s²=15−121/9=14/9≈1,56.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1=2, Q3=4, IQR=2, khoảng [−1;7] chứa 6 nên 6 không phải số liệu bất thường.

(AI giải đề cho tôi)
Số quan sát $n=34$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{20\cdot 11+23\cdot 3+25\cdot 9+27\cdot 7+30\cdot 4}{34}=\frac{823}{34}\approx 24,206$. Tổng bình phương: $20^2\cdot 11+23^2\cdot 3+25^2\cdot 9+27^2\cdot 7+30^2\cdot 4=4400+1587+5625+5103+3600=20315$. Phương sai mẫu: $s^2=\frac{20315}{34}-{\left(\frac{823}{34}\right)}^2\approx 597,5-585,925=11,575$. Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{11,575}\approx 3,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu: 1;3;3;4;4;7;9;10;20 (n=9). R = 20 − 1 = 19 ≠ 20 (A sai). Q2 là số liệu thứ 5 nên Q2 = 4 ≠ 3 (B sai). Q1 = trung vị của nửa dưới (1;3;3;4) = 3; Q3 = trung vị của nửa trên (4;7;9;10) = 8; ΔQ = 8 − 3 = 5 ≠ 20 (C sai). Khoảng biến thiên IQR = 5, giới hạn: [3 − 7,5; 8 + 7,5] = [−4,5; 15,5]. Giá trị 20 nằm ngoài khoảng này nên 20 là giá trị ngoại lệ (D đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có n = 12 giá trị đã sắp xếp: 38; 39; 39; 40; 40; 41; 42; 42; 42; 43; 43; 44. Theo phương pháp trong SGK Toán 10 (chia mẫu thành hai nửa khi n chẵn): Q1 là trung vị của 6 giá trị đầu (38; 39; 39; 40; 40; 41), nên Q1 = (39 + 40)/2 = 39,5. Q3 là trung vị của 6 giá trị cuối (42; 42; 42; 43; 43; 44), nên Q3 = (42 + 43)/2 = 42,5. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 = 42,5 − 39,5 = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }=20-8=12$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R$ = giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất $=10-2=8$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }$. Với mẫu $X=\{10,12,11,15,8,20\}$, giá trị lớn nhất là $20$, giá trị nhỏ nhất là $8$, nên $R=20-8=12$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu: 1, 4, 5, 6, 6, 8, 10, 11, 12, 25 (n = 10).
a) Giá trị lớn nhất là 25 < 30 nên không có học sinh nào chờ quá 30 phút → ĐÚNG.
b) Tổng = 1+4+5+6+6+8+10+11+12+25 = 88, trung bình = 88/10 = 8,8 phút ≠ 8 phút → SAI.
c) Nửa dưới: 1, 4, 5, 6, 6 → Q1 = 5; nửa trên: 8, 10, 11, 12, 25 → Q3 = 11. Khoảng tứ phân vị Δq = 11 − 5 = 6 ≠ 5 → SAI.
d) Trung bình x̄ = 8,8. Tổng bình phương độ lệch: (−7,8)²+(−4,8)²+(−3,8)²+(−2,8)²+(−2,8)²+(−0,8)²+(1,2)²+(2,2)²+(3,2)²+(16,2)² = 60,84+23,04+14,44+7,84+7,84+0,64+1,44+4,84+10,24+262,44 = 393,6. Phương sai s² = 393,6/10 = 39,36 → ĐÚNG.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất của mẫu là 25 phút < 30 phút, nên không có học sinh nào chờ quá 30 phút.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng mẫu số liệu là 88, trung bình = 88/10 = 8,8 phút, không phải 8 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 5 (nửa dưới: 1,4,5,6,6) và Q3 = 11 (nửa trên: 8,10,11,12,25), nên Δq = 11 − 5 = 6 phút, không phải 5 phút.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x̄ = 8,8, tổng bình phương độ lệch bằng 393,6, nên s² = 393,6/10 = 39,36.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu 5, 7, 3, 10, 8, 2 có giá trị lớn nhất là 10 và giá trị nhỏ nhất là 2. Khoảng biến thiên $R=10-2=8$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu: 7, 8, 11, 13, 15, 18, 19, 20, 22.
a) Sai. Số trung bình là số đo xu hướng trung tâm (dùng làm đại diện), không phải số đo mức độ phân tán.
b) Đúng. R = 22 - 7 = 15.
c) Sai. Mẫu có 9 giá trị, trung vị là giá trị thứ 5 = 15, nên Q_2 = 15 ≠ 18.
d) Sai. Số trung bình x̄ = 133/9 ≈ 14,78. Tổng bình phương các giá trị = 2197, phương sai s² = 2197/9 - (133/9)² = 2084/81 ≈ 25,73, nên s ≈ 5,07 ≠ 25.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình là số đo xu hướng trung tâm, không phải số đo mức độ phân tán.
b) (AI giải đề cho tôi)
R = giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất = 22 - 7 = 15.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu có 9 giá trị, trung vị là giá trị thứ 5 của dãy đã sắp xếp: Q_2 = 15 ≠ 18.
d) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 133/9 ≈ 14,78; s² = 2084/81 ≈ 25,73 nên s ≈ 5,07 ≠ 25.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh $n=7+5+10+12+4+2=40$. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 7+6\cdot 5+7\cdot 10+8\cdot 12+9\cdot 4+10\cdot 2}{40}=\frac{287}{40}=7,175$. Tính $\sum x_i^2{n}_i=25\cdot 7+36\cdot 5+49\cdot 10+64\cdot 12+81\cdot 4+100\cdot 2=175+180+490+768+324+200=2137$. Phương sai: $s^2=\frac{2137}{40}-7,175^2=53,425-51,480625\approx 1,94$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án của đề (mã đề 1014, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét: đề chỉ cung cấp bảng số liệu (Câu 34, trang 22) mà không nêu rõ yêu cầu cụ thể; theo chủ đề 'Các số đặc trưng đo độ phân tán', ta tính các số đặc trưng của mẫu 20 giá trị.

Sắp xếp và lập bảng tần số:
- Giá trị 111: 1 lần; 112: 3 lần; 113: 4 lần; 114: 5 lần; 115: 4 lần; 116: 2 lần; 117: 1 lần (tổng $n=20$).

1) Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{111\cdot 1+112\cdot 3+113\cdot 4+114\cdot 5+115\cdot 4+116\cdot 2+117\cdot 1}{20}=\frac{2278}{20}=113,9\text{ (kg/saˋo)}.$$

2) Phương sai:
$$s^2=\frac{1}{n}\sum n_i{x}_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{259510}{20}-113,9^2=12975,5-12973,21=2,29.$$

3) Độ lệch chuẩn:
$$s=\sqrt{2,29}\approx 1,51\text{ (kg/saˋo)}.$$

4) Số trung vị: dãy đã sắp xếp có giá trị thứ 10 và thứ 11 đều bằng 114 nên $Me=114$.

5) Khoảng biến thiên: $R=117-111=6$ (kg/sào).

Kết luận: mẫu số liệu có số trung bình $\bar{x}=113,9$ kg/sào, phương sai $s^2=2,29$, độ lệch chuẩn $s\approx 1,51$ kg/sào, số trung vị $Me=114$, khoảng biến thiên $R=6$. Độ phân tán nhỏ cho thấy sản lượng chè của các hộ khá đồng đều.

(AI giải đề cho tôi)
Cung thủ A: các giá trị 8, 9, 10, 7, 6, 10, 6, 7, 9, 8. Tổng ${\bar{x}}_A=\frac{8+9+10+7+6+10+6+7+9+8}{10}=\frac{80}{10}=8$. Tổng bình phương $\sum x_i^2=64+81+100+49+36+100+36+49+81+64=660$. Phương sai $s_A^2=\frac{660}{10}-8^2=66-64=2$. Độ lệch chuẩn $s_A=\sqrt{2}\approx 1,41$.

Cung thủ B: các giá trị 10, 6, 8, 7, 9, 9, 8, 7, 8, 8. Tổng ${\bar{x}}_B=\frac{10+6+8+7+9+9+8+7+8+8}{10}=\frac{80}{10}=8$. Tổng bình phương $\sum y_i^2=100+36+64+49+81+81+64+49+64+64=652$. Phương sai $s_B^2=\frac{652}{10}-8^2=65,2-64=1,2$. Độ lệch chuẩn $s_B=\sqrt{1,2}\approx 1,10$.

Nhận xét: Hai cung thủ có điểm trung bình bằng nhau (8 điểm), nhưng $s_B^2<s_A^2$ nên cung thủ B bắn ổn định hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 25): 30, 35, 39, 41, 45, 48, 51, 54, 58, 58, 60, 61, 61, 61, 65, 65, 68, 72, 72, 72, 75, 75, 80, 83, 84.

a) Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1513}{25}=60,52$.
Tổng bình phương: $\sum x_i^2=96885$, nên phương sai:
$$s^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{96885}{25}-(60,52{)}^2=3875,4-3662,6704=212,7296\approx 212,73.$$
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{212,7296}\approx 14,59$.
Nhận xét: Điểm trung bình khoảng 60,52; độ lệch chuẩn khoảng 14,59 khá lớn so với thang điểm 100, cho thấy mức đánh giá của mọi người phân tán khá mạnh, không đồng đều về chất lượng sản phẩm.

b) Khoảng biến thiên: $R=x_{max}-x_{min}=84-30=54$.
Tứ phân vị: $Q_1$ là trung vị của 12 giá trị đầu (30, 35, 39, 41, 45, 48, 51, 54, 58, 58, 60, 61): $Q_1=\frac{48+51}{2}=49,5$.
$Q_3$ là trung vị của 12 giá trị cuối (61, 65, 65, 68, 72, 72, 72, 75, 75, 80, 83, 84): $Q_3=\frac{72+72}{2}=72$.
Khoảng tứ phân vị: $IQR=Q_3-Q_1=72-49,5=22,5$.
(Trung vị $Q_2$ = giá trị thứ 13 = 61.)

c) Xét khoảng giá trị hợp lệ: $[Q_1-1,5\cdot IQR;Q_3+1,5\cdot IQR]=[49,5-33,75;72+33,75]=[15,75;105,75]$.
Mọi giá trị của mẫu đều nằm trong khoảng này, nên mẫu số liệu không có giá trị bất thường.