Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1,\forall x\in \mathbb{R}$, khi đó $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $$\underset{0}{\overset{9}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=9.$$

Cho $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=7$, $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=-1$. Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[a;b]$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$. Khẳng định nào sau đây sai?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-2x^2+14x-20$, trục $Ox$ và các đường thẳng $x=-3,x=-1$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;5]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $f(x)$ và $Ox$ trên $[1;3]$ là $S_1$ (nằm trên $Ox$), trên $[3;5]$ là $S_2$ (nằm dưới $Ox$). Biết $S_1-S_2=4$ và tổng diện tích là 14. Tính $I={\int }_1^5[5f(x)-2x]\mathrm{d}x$.