Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+4}{3}=\frac{y-5}{-4}=\frac{z+2}{1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+4}{3}=\frac{y-5}{-4}=\frac{z+2}{1}$ đi qua điểm $P(-4;5;-2)$ và có VTCP ${\vec{u}}_d=(3;-4;1)$.

a) Thay $M(3;-4;1)$: $\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}$ còn $\frac{-4-5}{-4}=\frac{9}{4}$, hai giá trị khác nhau nên $M\notin d$. Khẳng định SAI.

b) $\vec{u}(-3;4;-1)=-{\vec{u}}_d$ nên cũng là một VTCP của $d$. Khẳng định ĐÚNG.

c) Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $(3;-4;1)$ cùng hướng với $d$ và đi qua điểm $(-4;5;-2)$ chính là điểm trên $d$, nên $\Delta$ trùng với $d$ (không phải song song theo nghĩa hai đường phân biệt). Khẳng định SAI.

d) Xét ${\Delta }^{\prime }:\frac{x+4}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z+1}{1}$, VTCP $(3;-4;1)$ cùng phương với $d$ nên song song với $d$ (điểm $(-4;-1;-1)\notin d$ vì $\frac{-1-5}{-4}=\frac{3}{2}\ne \frac{0}{1}$). Kiểm tra cắt $d_1$: điểm $(-4;-1;-1)+t(3;-4;1)$ với $d_1:(1;-1;2)+s(3;1;2)$: từ $y$: $-1-4t=-1+s\Rightarrow s=-4t$; từ $z$: $-1+t=2+2s\Rightarrow 9t=3\Rightarrow t=\frac{1}{3},s=-\frac{4}{3}$; kiểm tra $x$: $-4+1=-3=1-4$ ✓. Vậy ${\Delta }^{\prime }$ cắt $d_1$. Kiểm tra cắt $d_2$: $(-2;3;0)+r(2;4;1)$: từ $z$: $r=t-1$; từ $x$: $-4+3t=-2+2(t-1)\Rightarrow t=0,r=-1$; kiểm tra $y$: $-1=3-4$ ✓. Vậy ${\Delta }^{\prime }$ cắt cả $d_1$ và $d_2$. Khẳng định ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;-4;1)$ vào $d$: $\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}\ne \frac{-4-5}{-4}=\frac{9}{4}$ nên $M\notin d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}(-3;4;-1)=-{\vec{u}}_d$ với ${\vec{u}}_d=(3;-4;1)$, nên $\vec{u}$ cũng là một VTCP của $d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ có cùng VTCP $(3;-4;1)$ và đi qua điểm $(-4;5;-2)$ thuộc $d$, nên $\Delta$ trùng với $d$, không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }^{\prime }:\frac{x+4}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z+1}{1}$ có VTCP $(3;-4;1)$ cùng phương với $d$ và không nằm trên $d$ nên song song với $d$. Giải hệ với $d_1$ được $t=\frac{1}{3},s=-\frac{4}{3}$ thỏa cả ba phương trình nên cắt $d_1$; giải hệ với $d_2$ được $t=0,r=-1$ thỏa cả ba phương trình nên cắt $d_2$.