Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-2y+2z-5=0$. Xét mặt phẳng $(Q):x+(2m-1)z+7=0$, với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
$(P):x-2y+2z-5=0$ có vtpt $\overrightarrow{n_1}=(1;-2;2)$; $(Q):x+(2m-1)z+7=0$ có vtpt $\overrightarrow{n_2}=(1;0;2m-1)$.

a) Với $m=\frac{1}{4}$: $\overrightarrow{n_2}=(1;0;-\frac{1}{2})$, tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1+0+2\cdot (-\frac{1}{2})=0$ nên $(P)\perp (Q)$. → Đúng.

b) $\cos ((P),(Q))=\frac{|1+2(2m-1)|}{3\sqrt{1+(2m-1{)}^2}}=\frac{|4m-1|}{3\sqrt{1+(2m-1{)}^2}}$. Đặt $t=2m-1$, giải $\frac{|2t+1|}{3\sqrt{1+t^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$: $2(2t+1{)}^2=9(1+t^2)\iff t^2-8t+7=0\iff t=1$ hoặc $t=7$, tức $m=1$ hoặc $m=4$: có 2 giá trị $m$, không phải 1. → Sai.

c) Để $(P)\equiv (Q)$ cần tỉ số hệ số tương ứng bằng nhau, nhưng hệ số của $y$ trong $(Q)$ bằng $0$ còn trong $(P)$ bằng $-2$, hai mặt không thể trùng nhau. → Sai.

d) Nếu $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ xuống $(Q)$ thì $\overrightarrow{OH}=(2;1;2)$ phải cùng phương với $\overrightarrow{n_2}=(1;0;2m-1)$, nhưng thành phần $y$ là $1$ so với $0$ nên không tỉ lệ: không tồn tại $m$ thỏa giả thiết. Mệnh đề sai. (Kiểm tra thêm: $\cos \beta =\frac{|4m-1|}{3\sqrt{1+(2m-1{)}^2}}=\frac{4}{9}\iff 80m^2-8m-23=0$ cho $m=\frac{1\pm 2\sqrt{29}}{20}$, không gắn với $H$; với $m=-\frac{1}{8}$ khiến $H\in (Q)$ thì $\cos \beta =\frac{5}{3\sqrt{41}}\ne \frac{4}{9}$.) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=\frac{1}{4}$, $\overrightarrow{n_2}=(1;0;-\frac{1}{2})$ và $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1-1=0$ nên $(P)\perp (Q)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{|4m-1|}{3\sqrt{1+(2m-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $t=2m-1$ được $t^2-8t+7=0$, cho $m=1$ và $m=4$: có 2 giá trị $m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $y$ trong $(Q)$ bằng 0 còn trong $(P)$ bằng $-2$, hai mặt không thể trùng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OH}=(2;1;2)$ không thể cùng phương với $\overrightarrow{n_2}=(1;0;2m-1)$ (thành phần $y$: $1$ so với $0$), nên $H$ không thể là hình chiếu của $O$ xuống $(Q)$; mệnh đề sai.