Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600km$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc $900km/h$ theo đường thẳng $d$ có phương trình $$d\text{ coˊ phương trıˋnh }\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-300+80t\\ z=100\sqrt{11}\end{array}(t\in \mathbb{R})\text{ vaˋ hướng veˆˋ đaˋi kiểm soaˊt khoˆng lưu (như hıˋnh ve˜).}$$

(AI giải đề cho tôi)
Vùng kiểm soát là khối cầu tâm O bán kính R=600 km. a) Sai vì bán kính là 600 km chứ không phải 300 km. b) Đúng: x²+y²+z²=600²=360000. c) Đúng: M(-500;100;100√11) có OM²=250000+10000+110000=370000>360000 nên M nằm ngoài mặt cầu, tức ngoài vùng kiểm soát. d) Sai: máy bay trên d: x=-1000+100t, y=-300+80t, z=100√11. Giao với mặt cầu: (-1000+100t)²+(-300+80t)²+110000=360000 ⟺ 16400t²-248000t+840000=0 ⟺ 41t²-620t+2100=0 ⟺ t=210/41 hoặc t=10. Máy bay hướng về đài nên phát hiện tại t₁=210/41 (điểm vào) và ra khỏi vùng tại t₂=10. Vectơ chỉ phương u=(100;80;0), |u|=20√41, độ dài cung đi trong vùng = (10-210/41)·20√41 = 4000/√41 ≈ 624,7 km. Thời gian = (4000/√41)/900 = 40/(9√41) ≈ 0,69 giờ ≠ 4/3 giờ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đài phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km nên ranh giới là mặt cầu tâm O bán kính R=600 km, không phải 300 km.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm O(0;0;0) bán kính R=600 có phương trình x²+y²+z²=600²=360000.
c) (AI giải đề cho tôi)
M(-500;100;100√11) thuộc d (t=5). OM²=250000+10000+110000=370000>360000=600² nên M nằm ngoài vùng kiểm soát.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay z=100√11 vào phương trình mặt cầu: (-1000+100t)²+(-300+80t)²=250000 ⟺ 41t²-620t+2100=0 ⟺ t=210/41 hoặc t=10. Máy bay đi vào vùng tại t₁=210/41 và ra khỏi tại t₂=10. Quãng đường trong vùng = (10-210/41)·|u| với u=(100;80;0), |u|=20√41, tức 4000/√41≈624,7 km. Thời gian = 624,7/900 ≈ 0,69 giờ, không bằng 4/3 giờ.