Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f(0)=1$ và $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=2-2x$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f(x)=m$ có hai nghiệm thực phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=2-2x$ ta có ${\left(\ln f(x)\right)}^{\prime }=2-2x$, suy ra $\ln f(x)=2x-x^2+C$. Vì $f(0)=1$ nên $C=0$, do đó $f(x)=e^{2x-x^2}$.

Xét $f^{\prime }(x)=e^{2x-x^2}(2-2x)$: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>1$, nên $f$ đồng biến trên $(-\infty ;1]$ và nghịch biến trên $[1;+\infty )$, đạt cực đại $f(1)=e$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=0$ và $f(0)=f(2)=e^0=1$.

Xét số nghiệm của $f(x)=m$ (với $m>0$ vì $f(x)>0$):
- Nếu $0<m<1$: mỗi nhánh đồng biến, nghịch biến cho đúng một nghiệm → hai nghiệm phân biệt.
- Nếu $m=1$: có hai nghiệm phân biệt $x=0$ và $x=2$ → thỏa mãn.
- Nếu $1<m<e$: hai nhánh vẫn cho hai nghiệm phân biệt (vì $f(0)=1<m<e=f(1)$) → thỏa mãn.
- Nếu $m=e$: chỉ có một nghiệm $x=1$ → loại.
- Nếu $m\le 0$: vô nghiệm (do $f(x)>0$) → loại.

Vậy phương trình $f(x)=m$ có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $0<m<e$, tức $m\in (0;e)$.