Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, $SA=a$; $SB=a\sqrt{3}$ và mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC$. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $SM$, $DN$.

Trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục là 100 ki-lô-mét $(km)$. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $M(-4;-2;3)$ và $N(5;10;9)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất thì khoảng cách giữa vị trí của máy bay và đài kiểm soát không lưu là bao nhiêu $km$?

Tại một nút giao thông có 2 con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$ hai con đường đó thuộc hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$; $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$.



Người ta muốn tạo một con đường $\Delta$ cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB$ nhỏ nhất. Tính độ dài $AB$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 4. Lấy $H$, $K$ lần lượt trên các cạnh $AB$, $AD$ sao cho $BH=3HA$, $AK=3KD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $H$ lấy điểm $S$ sao cho $\widehat{SBH}=30^{\circ }$. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Gọi $E$ là giao điểm của $CH$ và $BK$, cosin của góc giữa hai đường thẳng $SE$ và $BC$ bằng $\frac{m}{n\sqrt{39}}$ với $m\in \mathbb{Z};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $T=2m-n=31$.
b) Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{16\sqrt{3}}{3}$.
c) $SH=\sqrt{3}$.
d) Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ bằng $\frac{4\sqrt{57}}{19}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 1 đơn vị, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ $AB$ đến $SC$ bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{Z}}^{+})$; $(\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Tính tổng $a+b$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB=BC=\sqrt{3}$, $AD=2\sqrt{3}$, $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa $SB$ và $CD$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm của $CI$, góc giữa $SA$ và mặt đáy bằng $45^{\circ }$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SBC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CG$ (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)?