Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên $2a$, góc tạo bởi $A^{\prime }B$ và mặt đáy là $60^0$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng $A^{\prime }C$ và $AM$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy $AB=x$. Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ nên góc giữa $A^{\prime }B$ và mặt đáy là góc $A^{\prime }BA=60^0$, với $A{A}^{\prime }=2a$: $\sin 60^0=\frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}\Rightarrow A^{\prime }B=\frac{2a}{\sqrt{3}/2}=\frac{4a}{\sqrt{3}}$. Suy ra $A{B}^2=A^{\prime }{B}^2-A{A}^{\prime 2}=\frac{16a^2}{3}-4a^2=\frac{4a^2}{3}$, tức $AB=\frac{2a}{\sqrt{3}}$. Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B\left(\frac{2a}{\sqrt{3}};0;0\right)$, $C\left(\frac{a}{\sqrt{3}};a;0\right)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$, trung điểm $M\left(\frac{\sqrt{3}a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(\frac{a}{\sqrt{3}};a;-2a\right)$, $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{\sqrt{3}a}{2};\frac{a}{2};0\right)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=a^2$. Độ dài: $|\overrightarrow{A^{\prime }C}|=\sqrt{\frac{a^2}{3}+a^2+4a^2}=\frac{4a}{\sqrt{3}}$, $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=a$. Vậy $\cos (A^{\prime }C,AM)=\frac{a^2}{\frac{4a}{\sqrt{3}}\cdot a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.