Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):4x+my+mz+1=0$ và $(Q):x-y-3=0$. Có bao nhiêu giá trị của $m$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $60^{\circ }$?

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha ):x+3y+2z-1=0$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

Khi gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ vào một căn nhà như mô hình bên dưới, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là các hình chữ nhật. Số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng $DE$ và hai mặt lần lượt là $(DEFG)$, $(DEIH)$ được gọi là góc dốc của mái nhà. Góc dốc của mái nhà trong mô hình là bao nhiêu độ ? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ)

Khi gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ vào một căn nhà như mô hình bên dưới, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là các hình chữ nhật. Số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng $DE$ và hai mặt lần lượt là $(DEFG)$, $(DEIH)$ được gọi là góc dốc của mái nhà. Góc dốc của mái nhà trong mô hình là bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ)

Trong một triển lãm thời trang, một viên kim cương có tên là "Bốn mùa bên em" được đặt trên một giá đỡ. Biết rằng giá đỡ là một hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ nằm trên mặt bàn và $BA=BC$, $SA$ vuông góc với mặt bàn. Viên kim cương có hình dạng là một khối tứ diện đều có hai cạnh đối lần lượt nằm trên hai đường thẳng chứa cạnh $SC$ và đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Biết $AB=5$ cm, góc giữa hai mặt phẳng $(SAC),(SBC)$ bằng $60^{\circ }$. Hỏi thể tích của viên kim cương bằng bao nhiêu cm${}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $mx+(m-1)y+z-10=0$ và mặt phẳng $(Q):2x+y-2z+3=0$. Với giá trị nào của dưới đây của $m$ thì $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau

Cho lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6}$, $AD=\sqrt{3}$, $A^{\prime }C=3$ và mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ tạo với nhau góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{3}{4}$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $K$ là hình chiếu của $B$ trên $AC$.