Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha ):3x-2y+2z+7=0$ và $(\beta ):5x-4y+3z+1=0$. Gọi đường thẳng $(d)$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$. Biết sin của góc giữa $(d)$ với mặt phẳng $(Oxy)$ bằng $\frac{a}{b}$ (a và b là hai số nguyên tố cùng nhau). Tính $a+b$

Khi gắn hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(3;-2;3)$ đến vị trí $B(5;6;2)$. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng $AB$) và sân bay (một phần của mặt phẳng $(Oxy)$) bằng $a$ độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Tính giá trị của $a$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):6x+8y+10z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-5}{5}$. Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):\sqrt{2}x-y+z+1=0$. Tính góc giữa trục hoành $Ox$ và mặt phẳng $(\alpha )$.

Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=2a\sqrt{3}$, hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên CC' tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Tính cosin góc tạo với $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$, (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh $SB$, $SD$. Góc giữa mặt phẳng $(AMN)$ và đường thẳng $SC$ bằng bao nhiêu độ?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x-y+2z+1=0$, đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{2}$. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Tính giá trị $\cos \phi$?