Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$, $D(-2;1;-1)$. Biết $\cos (AB;CD)=\frac{1}{\sqrt{a}}$. Tính $P=2a$

Cho hai véc tơ $\vec{a}=(1;-2;-3)$, $\vec{b}=(2;-1;-2)$. Khi đó, tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}$ bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hình bình hành $MNPQ$ trong đó điểm $M(-2;1;4)$, $P$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ và $Q$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oz$.

Một thùng carton hình hộp chữ nhật dùng để đựng bánh kẹo được bung nắp như hình và đặt trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị dm). Kích thước đáy $2\text{dm}\times 3\text{dm}$, chiều cao $2,5\text{dm}$. Ký hiệu các điểm $O,A,B,C,D,E,F$ là các đỉnh của hình hộp chữ nhật (tham khảo hình).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u},\vec{v}$ có $|\vec{u}|=2$, $|\vec{v}|=3$ và $\cos \left(\vec{u},\vec{v}\right)=\frac{1}{2}$. Tính $\vec{u}\cdot \vec{v}$

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(2;-1;3)$, $B(1;1;-1)$ và $C(-1;0;2)$. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Trong không gian, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mệnh đề nào dưới đây sai?