Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x-1}$, $f(0)=1$, $f(1)=2$. Biết $f(-2)+f(3)=a+b\ln 5$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $T=a+b$.

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ có một nguyên hàm $F(x)$ thỏa mãn $F(1)=100$. Tính giá trị của $F(e)$.

Cho hàm số $f(x)=x-\frac{4}{x}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0;+\infty )$ thỏa $F(1)=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=F(x)$ trên $[1;3]$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Tốc độ gia tăng số lượng lớp xe mắc lỗi Conicity trong một ca làm việc $t$ (giờ) được mô tả bởi hàm số $f^{\prime }(t)=12e^{0,5t}$ (lớp/giờ). Biết rằng ban đầu $(t=0)$ dây chuyền chưa ghi nhận lớp lỗi nào. Số lớp lỗi phát sinh sau $t$ giờ là

Cho hàm số $f(x)=2x-3\cos x$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn điều kiện $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=3$.

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x)=2^x-4x$ trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F(0)=\frac{1}{\ln 2}$.

Khi nghiên cứu một quần thể vi khuẩn, người ta nhận thấy quần thể vi khuẩn đó ở ngày thứ $t$ có số lượng là $N(t)$ con. Biết rằng tốc độ phát triển của quần thể đó là $N^{\prime }(t)=\frac{8000}{t}$ và sau ngày thứ nhất có 250 000 con. Hỏi số lượng vi khuẩn (nghìn con) của quần thể đó sau 6 ngày bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?