Giả sử nguyên hàm của hàm số $f(x)={\sin }^{5}x.\cos x$ là $F(x)$. Tìm $F(x)$ biết $F(0)=\ln 2+\frac{\pi }{2}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, không âm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x).f^{\prime }(x)=2x\sqrt{(f(x){)}^2+1}$ và $f(0)=0$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[1;3]$. Tính $2M+3m$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Tính các nguyên hàm sau:

a) $\int \frac{1}{1+\sqrt{x+1}}dx$ b) $\int \frac{x+1}{x\sqrt{x-2}}dx$ c) $\int \frac{1}{1+\sqrt[3]{x+1}}dx$

d) $\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}dx$ e) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}dx$ f) $\int \frac{\sqrt{x}}{x(x+1)}dx$

g) $\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+2\sqrt[4]{x}}$ h) $\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\frac{dx}{x}$ i) $\int \sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}}\frac{dx}{x}$

k) $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(2x+1{)}^2}-\sqrt{2x+1}}$ l) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-5x+6}}$ m) $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+6x+8}}$

Tính các nguyên hàm sau:

a) $\int \sin 2x\sin 5xdx$ b) $\int \cos x\sin 3xdx$ c) $\int ({\tan }^{2}x+{\tan }^{4}x)dx$

d) $\int \frac{\cos 2x}{1+\sin x\cos x}dx$ e) $\int \frac{dx}{2\sin x+1}$ f) $\int \frac{dx}{\cos x}$

g) $\int \frac{1-\sin x}{\cos x}dx$ h) $\int \frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}dx$ i) $\int \frac{dx}{\cos x\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)}$

k) $\int \cos x\cos 2x\cos 3xdx$ l) $\int {\cos }^{3}xdx$ m) $\int {\sin }^{4}xdx$

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x}\ln x$ với mọi $x\in (0;+\infty )$

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x}\ln x$ với mọi $x\in (0;+\infty )$

Họ các nguyên hàm của hàm số $y=x(x+1{)}^5$ là