Một vật trang trí có đế dạng khối chóp cụt đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều cao $3cm$, $AB=8\sqrt{2}cm,A^{\prime }{B}^{\prime }=6\sqrt{2}cm$



Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $O^{\prime }$ là giao điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Với hệ trục tọa độ như hình vẽ, mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ cắt tia $Oz$ tại điểm $M(0;0;m)$. Tìm giá trị của $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục như hình vẽ: $O$ là gốc, $A\in Ox$, $B\in Oy$ (và $C$, $D$ đối xứng). Vì $AB=8\sqrt{2}$ nên nửa đường chéo đáy lớn $OA=OB=8$; vì $A^{\prime }{B}^{\prime }=6\sqrt{2}$ nên $O^{\prime }{A}^{\prime }=O^{\prime }{B}^{\prime }=6$; chiều cao $O{O}^{\prime }=3$.

Tọa độ: $C(-8;0;0)$, $D(0;-8;0)$, $C^{\prime }(-6;0;3)$, $D^{\prime }(0;-6;3)$.

Mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ đi qua $C$, $D$, $C^{\prime }$. Hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{CD}=(8;-8;0)$, $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(2;0;3)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(-24;-24;16)\sim (3;3;-2)$.

Phương trình mặt phẳng: $3(x+8)+3y-2z=0\iff 3x+3y-2z+24=0$.

Kiểm tra $D^{\prime }(0;-6;3)$: $0-18-6+24=0$ ✓.

Giao với trục $Oz$ ($x=y=0$): $-2m+24=0\Rightarrow m=12$.