Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên các trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục cao tại điểm có cao độ bằng $\frac{1}{4}$. Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng $(P):x-2y+5=0$, $(Q):x-2y-3z+20=0$. Tính chiều cao của ngôi nhà (tính từ sàn nhà đến điểm cao nhất của mái nhà).

(AI giải đề cho tôi)
Sàn nhà nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục cao (trục Oz) tại cao độ $\frac{1}{4}$, nên sàn nhà là mặt phẳng $(H):z=\frac{1}{4}$.

Hai mái nhà nằm trên $(P):x-2y+5=0$ và $(Q):x-2y-3z+20=0$. Điểm cao nhất của mái nhà nằm trên giao tuyến $d$ của $(P)$ và $(Q)$.

Trên $d$: từ $(P)$ có $x-2y=-5$. Thay vào $(Q)$: $-5-3z+20=0\Rightarrow 3z=15\Rightarrow z=5$.

Vậy giao tuyến (đỉnh mái) nằm trên mặt phẳng $z=5$, tức điểm cao nhất của mái nhà có cao độ $5$ m.

Chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn đến điểm cao nhất của mái là:
$$h=5-\frac{1}{4}=\frac{19}{4}=4,75\text{ (m)}.$$