Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;1)$ và hai mặt phẳng $(P):2x-y+3z-1=0$, $(Q):y=0$. Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ chứa $A$, vuông góc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Tuấn và Minh đang tập chuyền bóng cho nhau, Tuấn ném bóng cho Minh đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Tuấn và rơi xuống vị trí $M$ cách Minh 0,5 m và cách Tuấn 3,5 m được mô tả bằng hình vẽ bên dưới.



Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ (1 đơn vị trên mỗi trục tương ứng với 1 mét). Khi đó, quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):ax-y+cz=0$ và vuông góc với mặt đất. Tính giá trị của $a+c$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+3=0$ và các điểm $A(2;1;2)$; $B(1;1;0)$; $C(-2;1;1)$.

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đối một cách nhau 2 m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài là 4 m; 4,4 m; 4,8 m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ tại vị trí $A$, $B$, $C$ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 10 mét, 9 mét, 8 mét. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 8 mét.



Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, với $B$ thuộc tia $Ox$, $C$ thuộc tia $Oy$, tia Oz cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$; gốc tọa độ $O$ trùng với trung điểm của $AC$ và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 mét (xem hình vẽ).

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-1;2;3) và mặt phẳng (P): x-2y+5z-8=0. Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là:

Sau nhà ông A có mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều rộng $AB=5m$ và chiều dài $AD=6m$. ông A định thiết kế mảnh đất này để trồng rau sạch (mô hình như hình vẽ bên dưới). Mái lợp hình chữ nhật HEFG tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $30^{\circ }$ ; bốn trụ $EA$, $FB$, $HD$, $GC$ đều vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ ; $EA=FB=8m$ và $DH>EA$ (xem kích thước mái lợp HEFG không đáng kể).
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có đơn vị trên mỗi trục là mét (m) sao cho $D(0;0;0)$ ; tia DA trùng với tia Ox; tia DC trùng với tia Oy; tia DH trùng với tia Oz; mp(ABCD) trùng với mp(Oxy). Mặt phẳng (HEFG) có dạng : $x+by+cz+d=0$ (trong đó $b,c,d\in \mathbb{R}$). Tính $T=b+3c-5d$ ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị mét (m)).