Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2+a\pi +b}{16};(a;b\in \mathbb{Z})$, tính $a+b$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-2x$, trục hoành, đường thẳng $x=2$; $x=4$ bằng

Cho hàm số $f(x)=x^2-4x$.

Tích phân $${\int }_a^b(2x+1)\mathrm{d}x$$ có giá trị bằng

Biết $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left({\mathrm{e}}^x-3\right)\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^a+b$ với $a,b$ là các số nguyên. Giá trị $a\cdot b$ bằng bao nhiêu?

Vào ngày 8/3, từ một tấm bìa hình vuông cạnh $8(dm)$, An dùng các đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $x=f(y)$ để vẽ hoa tặng mẹ, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng $2(dm)$. Khi đặt trong hệ tọa độ $Oxy$ thì điểm $A(2;0)$ và đường cong $AB$ là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba $y=f(x)=\frac{1}{2}{x}^3+a{x}^2+bx+c$. Biết rằng tỷ lệ phần tô đậm chiếm $\frac{3}{4}$ diện tích hình vuông. Tính $abc$.

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=1$ và $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=-4$. Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ bằng: