Vào ngày 8/3, từ một tấm bìa hình vuông cạnh $8(dm)$, An dùng các đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $x=f(y)$ để vẽ hoa tặng mẹ, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng $2(dm)$. Khi đặt trong hệ tọa độ $Oxy$ thì điểm $A(2;0)$ và đường cong $AB$ là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba $y=f(x)=\frac{1}{2}{x}^3+a{x}^2+bx+c$. Biết rằng tỷ lệ phần tô đậm chiếm $\frac{3}{4}$ diện tích hình vuông. Tính $abc$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tâm hình vuông là gốc $O(0;0)$ (vì $A(2;0)$ thuộc đường tròn tâm hình vuông bán kính 2), cạnh 8 nên các đỉnh là $(\pm 4;\pm 4)$, do đó $B(4;4)$.

Từ hình vẽ: phần không tô đậm gồm đường tròn diện tích $4\pi$ và 8 vùng cong bằng nhau (mỗi vùng nằm giữa một cung của cánh hoa và trục tọa độ gần nó). Diện tích không tô đậm $=64-\frac{3}{4}\cdot 64=16$, nên mỗi vùng có diện tích $\frac{16-4\pi }{8}=2-\frac{\pi }{2}$.

Vùng gần trục hoành (trong góc phần tư thứ nhất) giới hạn bởi trục $Ox$, đường thẳng $x=2$, đường thẳng $x=4$ và cung $y=f(x)$; vùng này nằm hoàn toàn ngoài đường tròn (với $x>2$ thì $x^2+y^2>4$), nên ${\int }_2^{4}f(x)dx=2-\frac{\pi }{2}$. Ngoài ra $f(2)=0$ (điểm $A$), $f(4)=4$ (điểm $B$).

Với $f(x)=\frac{1}{2}{x}^3+a{x}^2+bx+c$:
- $f(2)=4+4a+2b+c=0$
- $f(4)=32+16a+4b+c=4\Rightarrow 6a+b=-12$
- ${\int }_2^{4}f={\left[\frac{x^4}{8}+\frac{a}{3}{x}^3+\frac{b}{2}{x}^2+cx\right]}_2^4=30+\frac{56}{3}a+6b+2c=2-\frac{\pi }{2}\Rightarrow \frac{28}{3}a+3b+c=-14-\frac{\pi }{4}$

Thay $c=-4-4a-2b$ vào phương trình cuối: $\frac{28}{3}a+3b-4-4a-2b=-14-\frac{\pi }{4}\Rightarrow \frac{16}{3}a+b=-10-\frac{\pi }{4}$. Kết hợp $6a+b=-12$, trừ hai phương trình: $\left(\frac{16}{3}-6\right)a=2-\frac{\pi }{4}\Rightarrow -\frac{2}{3}a=2-\frac{\pi }{4}\Rightarrow a=\frac{3\pi }{8}-3$.

Suy ra $b=-12-6a=6-\frac{9\pi }{4}$ và $c=-4-4a-2b=-4+3\pi$.

Vậy $abc=\left(\frac{3\pi }{8}-3\right)\left(6-\frac{9\pi }{4}\right)(3\pi -4)=\frac{3(\pi -8)}{8}\cdot \frac{3(8-3\pi )}{4}\cdot (3\pi -4)=\frac{9(\pi -8)(8-3\pi )(3\pi -4)}{32}\approx 10,57$.