Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị cắt trục $Ox$ tại đúng 4 điểm phân biệt (hình bên). Biết rằng ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=21$, ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=-2$, ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=3$. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và trục $Ox$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-2x$, trục hoành, đường thẳng $x=2$; $x=4$ bằng

Người ta muốn làm một tấm thảm hình vuông có độ dài cạnh 80 cm, đối xứng như hình vẽ. Biết phần đường cong là một phần đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{x}$. Do kỹ thuật thêu khác nhau nên phần tô đậm có giá 3 triệu đồng/m${}^2$, phần còn lại có giá 2 triệu đồng/m${}^2$. Hỏi tấm thảm có giá bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Vào ngày 8/3, từ một tấm bìa hình vuông cạnh $8(dm)$, An dùng các đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $x=f(y)$ để vẽ hoa tặng mẹ, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng $2(dm)$. Khi đặt trong hệ tọa độ $Oxy$ thì điểm $A(2;0)$ và đường cong $AB$ là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba $y=f(x)=\frac{1}{2}{x}^3+a{x}^2+bx+c$. Biết rằng tỷ lệ phần tô đậm chiếm $\frac{3}{4}$ diện tích hình vuông. Tính $abc$.

Một công ty thiết kế logo dựa trên một hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các trục tọa độ, đường thẳng $x=k$ và đường cong $(C)$ như hình vẽ. Đường cong $(C)$ gồm hai đường cong: $(C_1)$ là một phần đồ thị của hàm số $f(x)=a{x}^4,0\le x\le 2$ và $(C_2)$ là một phần đồ thị của hàm số $g(x)=b(x-k{)}^4+c,2\le x\le k$.

Biết rằng $(C_1)$ và $(C_2)$ có chung một tiếp tuyến tại điểm $A(2;2)$ và diện tích của hình phẳng $(H)$ bằng 8 (đvdt). Tính giá trị của tham số $k$.

Cho $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C):f(x)=x^3-3x^2+2x$ và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2^x$, hai trục tọa độ và $x=5$ bằng