Trong không gian $Oxyz$, với đơn vị dài trên mỗi trục là $1dm$. Một con ong mật xuất phát tại vị trí điểm $A(3;2;1)$ bay xuống mặt phẳng $(Oxy)$ nó nghỉ tại chỗ một lát rồi sau đó bay đến mặt phẳng $(P):y-z=0$. Tại mặt phẳng $(P)$ con ong mật cẩn thận bò đi một đoạn đường thẳng có độ dài bằng $2dm$, sau đó nó bay trở về vị trí xuất phát. Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ong mật đã thực hiện (kết quả tính theo đơn vị $dm$ và làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là điểm nghỉ trên (Oxy), C là điểm ong chạm mặt (P): y−z=0, D là điểm kết thúc đoạn bò (D∈(P), CD=2). Quãng đường = AB + BC + CD + DA.

Bước 1: Phản chiếu A qua (Oxy) được A₁(3;2;−1). Vì B∈(Oxy) nên AB+BC = A₁B+BC ≥ A₁C, dấu '=' khi B nằm trên đoạn A₁C.

Bước 2: Phản chiếu A qua (P) được A₂(3;1;2) (do đối xứng qua y−z=0 là hoán đổi y,z). Vì D∈(P) nên DA = DA₂.

Bước 3: C,D∈(P), CD=2. Khoảng cách từ A₁ đến (P) là p = |2−(−1)|/√2 = 3/√2, từ A₂ đến (P) là q = |1−2|/√2 = 1/√2. Hình chiếu của A₁ và A₂ trên (P) lần lượt là (3; 1/2; 1/2) và (3; 3/2; 3/2), khoảng cách trong mặt phẳng u = √2.

Chọn trục trong (P) along vector (0;1;1)/√2, khi đó bài toán trở thành: min √(x²+p²) + √((u−2−x)²+q²) = khoảng cách từ điểm (0;−p) đến (u−2; q), tức là
$$\sqrt{(u-2{)}^2+(p+q{)}^2}=\sqrt{(\sqrt{2}-2{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{14-4\sqrt{2}}\approx \mathrm{2.8884.}$$

Giá trị này đạt được với C = (3; 0.1893; 0.1893)∈(P) (có z>0 nên đoạn A₁C cắt (Oxy) tại B hợp lệ), D = C + 2·(0;1;1)/√2 = (3; 1.6035; 1.6035)∈(P).

Tổng quãng đường ngắn nhất:
$$2+\sqrt{14-4\sqrt{2}}\approx 4.8884\approx 4.89\text{ dm}.$$