Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh bên bằng $3a$, đáy bằng $2a$. Số đo của góc nhị diện $[A^{\prime },BC,A]$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì lăng trụ tam giác đều nên $AM\perp BC$ và $A^{\prime }M\perp BC$ (do $A^{\prime }A\perp (ABC)$ nên $A^{\prime }M\perp BC$ theo định lý ba đường vuông góc). Suy ra góc nhị diện $[A^{\prime },BC,A]$ là $\widehat{A^{\prime }MA}$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$ nên $AM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Tam giác $A^{\prime }AM$ vuông tại $A$ với $A^{\prime }A=3a$, nên $A^{\prime }M=\sqrt{9a^2+3a^2}=2a\sqrt{3}$.

$\cos \widehat{A^{\prime }MA}=\frac{AM}{A^{\prime }M}=\frac{a\sqrt{3}}{2a\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{A^{\prime }MA}=60^{\circ }$.

Vậy chọn đáp án A.