Cho hình chóp đều $S.ABC$ có đáy là tam giác đều tâm $O$ cạnh $3a$ và $SA=a\sqrt{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy đều cạnh 3a nên $AO=R=\frac{3a}{\sqrt{3}}=a\sqrt{3}$. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$: $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{6a^2-3a^2}=a\sqrt{3}$ → c đúng. Góc giữa $SA$ và đáy là $\widehat{SAO}$: $\cos \widehat{SAO}=\frac{AO}{SA}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → $45^{\circ }$ → d đúng. Gọi $M$ trung điểm $BC$: $AM=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$, $SM=\sqrt{S{A}^2-B{M}^2}=\sqrt{6a^2-\frac{9a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$. Góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SMA}$: $\cos \widehat{SMA}=\frac{S{M}^2+A{M}^2-S{A}^2}{2\cdot SM\cdot AM}=\frac{\frac{15a^2}{4}+\frac{27a^2}{4}-6a^2}{2\cdot \frac{a\sqrt{15}}{2}\cdot \frac{3a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{9a^2}{2}}{\frac{9a^2\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0,4472$ → góc $\approx 63,4^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → a sai. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}{a}^2}{4}=\frac{9a^3}{4}$; $[SBC]=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot \frac{a\sqrt{15}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{15}}{4}$; $d(A,(SBC))=\frac{3V}{[SBC]}=\frac{27a^3/4}{3a^2\sqrt{15}/4}=\frac{9a}{\sqrt{15}}=\frac{3a\sqrt{15}}{5}$ → b đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SMA}$ với $M$ trung điểm $BC$. Có $AM=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$, $SM=\frac{a\sqrt{15}}{2}$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác $SMA$: $\cos \widehat{SMA}=\frac{S{M}^2+A{M}^2-S{A}^2}{2\cdot SM\cdot AM}=\frac{\frac{15a^2}{4}+\frac{27a^2}{4}-6a^2}{2\cdot \frac{a\sqrt{15}}{2}\cdot \frac{3a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{9a^2}{2}}{\frac{9a^2\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$, nên góc $\approx 63,4^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{9a^3}{4}$, $[SBC]=\frac{3a^2\sqrt{15}}{4}$, $d(A,(SBC))=\frac{3V}{[SBC]}=\frac{3a\sqrt{15}}{5}$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AO=a\sqrt{3}$, $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{6a^2-3a^2}=a\sqrt{3}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{SAO}=\frac{AO}{SA}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }$. Đúng.