Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông có $AB=AC$; $BC=SB=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $M$ của $BC$. Biết số đo của góc nhị diện $\left[B,SA,C\right]$ bằng $\alpha$. Tính $\cos \alpha$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $BC=a$ nên $AB=AC=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Đặt $A=(0;0;0)$, $B=\left(\frac{a}{\sqrt{2}};0;0\right)$, $C=\left(0;\frac{a}{\sqrt{2}};0\right)$, trung điểm $M=\left(\frac{a}{2\sqrt{2}};\frac{a}{2\sqrt{2}};0\right)$. Vì $SM\perp (ABC)$, $SB=a$, $MB=\frac{a}{2}$ nên $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, tức $S=\left(\frac{a}{2\sqrt{2}};\frac{a}{2\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Khi đó $SA=a$, và tam giác $SAB$ có $SA=SB=a$, $AB=\frac{a}{\sqrt{2}}$ nên $\cos \widehat{ASB}=\frac{a^2+a^2-\frac{a^2}{2}}{2a^2}=\frac{3}{4}$, $\sin \widehat{ASB}=\frac{\sqrt{7}}{4}$; tương tự $\cos \widehat{ASC}=\frac{3}{4}$. Tam giác $SBC$ có $SB=SC=BC=a$ đều nên $\cos \widehat{BSC}=\frac{1}{2}$. Áp dụng công thức ba điểm (góc nhị diện $[B,SA,C]$ có cạnh $SA$): $$\cos \alpha =\frac{\cos \widehat{BSC}-\cos \widehat{ASB}\cos \widehat{ASC}}{\sin \widehat{ASB}\sin \widehat{ASC}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{9}{16}}{\frac{7}{16}}=\frac{-\frac{1}{16}}{\frac{7}{16}}=-\frac{1}{7}.$$ Kiểm tra bằng tọa độ: hình chiếu của $B$ và $C$ trên đường thẳng $SA$ trùng nhau tại $H$ (do tính đối xứng), với $\overrightarrow{HB}=\left(\frac{7a}{4\sqrt{2}};-\frac{a}{4\sqrt{2}};-\frac{a\sqrt{3}}{8}\right)$, $\overrightarrow{HC}=\left(-\frac{a}{4\sqrt{2}};\frac{7a}{4\sqrt{2}};-\frac{a\sqrt{3}}{8}\right)$, cho $\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{HC}=-\frac{a^2}{16}$, $|\overrightarrow{HB}{|}^2=\frac{7a^2}{16}$, cũng ra $\cos \alpha =-\frac{1}{7}$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, câu 1: C).