Câu 18 (3,0 điểm).

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{A^{\prime }AB}$ là góc nhọn và thỏa mãn các điều kiện $\cos \left[A^{\prime },AB,C\right]=-\frac{1}{3}$; $\widehat{A^{\prime }AD}=90^{\circ }$; $\widehat{BAD}=60^{\circ }$; $A{A}^{\prime }=2\text{ m};AB=AD=1\text{ m}$.

a) Tính cosin của góc nhị diện $\left[B^{\prime },A{A}^{\prime },D\right]$.

b) Một chất điểm xuất phát từ $A$ chuyển động thẳng đều trên đoạn thẳng $AB$ với vận tốc 1 m/s, đồng thời một chất điểm khác xuất phát từ $D^{\prime }$ chuyển động thẳng đều trên đoạn thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ với vận tốc 2 m/s. Hỏi sau bao lâu khoảng cách giữa hai chất điểm ngắn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0,0)$, $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{AD}=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ (vì $\widehat{BAD}=60^{\circ }$, $AD=1$). Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(x;y;z)$ với $|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}|=2$. Từ $\widehat{A^{\prime }AD}=90^{\circ }$: $\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}y}{2}=0\Rightarrow y=-\frac{x}{\sqrt{3}}$. Góc nhị diện $[A^{\prime },AB,C]$ có hai mặt phẳng cùng chứa trục $AB$; thành phần vuông góc với $AB$ của $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ là $(0;y;z)$, của $\overrightarrow{AC}$ là $\left(0;\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$, nên $\cos [A^{\prime },AB,C]=\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}=-\frac{1}{3}$. Kết hợp $x^2+y^2+z^2=4$ và $y=-x/\sqrt{3}$: $\frac{-x/\sqrt{3}}{\sqrt{4-x^2}}=-\frac{1}{3}\Rightarrow 3x=\sqrt{3}\sqrt{4-x^2}\Rightarrow 12x^2=12\Rightarrow x=1$ (cos góc $A^{\prime }AB=x/2>0$). Vậy $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $z=\frac{2\sqrt{6}}{3}$, tức $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\left(1;-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.

a) Góc nhị diện $[B^{\prime },A{A}^{\prime },D]$: mặt $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime })$ chính là mặt $(A{A}^{\prime }B)$, mặt $(A{A}^{\prime }D)$. Chiếu $\overrightarrow{AB}$ lên mặt phẳng vuông góc với $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ ($\hat{a}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}/2$): $\overrightarrow{AB}\cdot \hat{a}=\frac{1}{2}$, $\vec{u}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\hat{a}=\left(\frac{3}{4};\frac{1}{4\sqrt{3}};-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)$, $|\vec{u}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vì $A{A}^{\prime }\perp AD$ nên $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$, $|\vec{v}|=1$. Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$. Suy ra $\cos \left[B^{\prime },A{A}^{\prime },D\right]=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) $D^{\prime }=A^{\prime }+D=\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$, độ dài $B^{\prime }{D}^{\prime }=1$ m nên chất điểm thứ hai hết $0,5$ s. Tại thời điểm $t$ (s): điểm thứ nhất $P(t)=(t;0;0)$; điểm thứ hai $Q(t)=D^{\prime }+2t\overrightarrow{BD}=\left(\frac{3}{2}+t;\frac{\sqrt{3}}{6}-\sqrt{3}t;\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{PQ}=\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{6}-\sqrt{3}t;\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$ (thành phần $x$ không phụ thuộc $t$) và
$$P{Q}^2=\frac{9}{4}+3{\left(t-\frac{1}{6}\right)}^2+\frac{8}{3}=\frac{59}{12}+3{\left(t-\frac{1}{6}\right)}^2.$$$P{Q}^2$ nhỏ nhất tại $t=\frac{1}{6}\in [0;0,5]$. Vậy sau $\frac{1}{6}$ s $\approx 0,17$ s khoảng cách ngắn nhất, đạt giá trị $\min PQ=\sqrt{\frac{59}{12}}=\frac{\sqrt{177}}{6}$ m.