Câu 16 (2,0 điểm).

Cho hàm số $y=\frac{2x}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm tất cả điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến các đường thẳng ${\Delta }_1:2x+y-5=0$ và ${\Delta }_2:x+2y-4=0$ là nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=4-t\\ y=-2+3t\end{array}$. Gọi $M(a;b)$ là điểm nằm trên đường thẳng $\Delta$ sao cho độ dài đoạn thẳng $OM$ là nhỏ nhất. Tính tổng $a+b$.

Trong một công viên, người ta thiết kế một con đường chạy bộ thẳng được coi như đường thẳng $\Delta$ có phương trình $3x-4y+25=0$ (đơn vị trên các trục là mét). Một vòi phun nước tự động được đặt tại điểm $M(1;2)$. Tính bán kính phun tối đa để nước từ vòi phun không làm ướt người chạy bộ (đơn vị: mét).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta :3x+4y-6=0$ và ${\Delta }^{\prime }:x+y=1$. Tìm tổng hoành độ các điểm $M$ thuộc ${\Delta }^{\prime }$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ bằng $\frac{4}{5}$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta :3x+4y-6=0$ và ${\Delta }^{\prime }:x+y=1$. Tìm tổng tung độ các điểm $M$ thuộc ${\Delta }^{\prime }$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ bằng $\frac{4}{5}$.

Xem mặt đất là một mặt phẳng và trên đó đặt một hệ trục tọa độ $Oxy$. Bạn An đang ngồi trên một chiếc xe khách để đi về nhà. Xe khách đó chạy trên một con đường có dạng một đường thẳng $\Delta$ có phương trình $x+3y-5=0$ và bạn An muốn dừng tại điểm $H(a;b)\in \Delta$, sao cho khoảng cách từ đó đến nhà ngắn nhất. Biết nhà An ở vị trí điểm $N(-1;-8)$, tính $a+b$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, khoảng cách từ điểm $M(1;2)$ đến đường thẳng $\Delta :4x-3y-13=0$ bằng