Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x-2{)}^2(2x+m+1)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên âm $m$ để hàm số $g(x)=f\left(x^2\right)$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(x^2)$ nên $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)=2x\cdot x^2{\left(x^2-2\right)}^2\left(2x^2+m+1\right)=2x^3{\left(x^2-2\right)}^2\left(2x^2+m+1\right)$. Trên khoảng $(1;+\infty )$, ta có $2x^3>0$ và ${\left(x^2-2\right)}^2\ge 0$ (bằng $0$ chỉ tại $x=\sqrt{2}$, một điểm cô lập). Do đó $g$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi $2x^2+m+1\ge 0$ với mọi $x>1$, tức $m+3\ge 0$ (vì $2x^2>2$ với $x>1$, nên với $m=-3$ biểu thức $2x^2-2>0$ với mọi $x>1$, vẫn thỏa mãn). Vậy điều kiện là $m\ge -3$. Các số nguyên âm $m$ thỏa mãn: $m\in \{-3,-2,-1\}$, có $3$ giá trị. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 12: B).