Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh bên bằng $200m$, góc $\widehat{ASB}=15^{\circ }$ bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp $AEFGHIJKLS$. Trong đó điểm $L$ cố định và $LS=40m$. Hỏi khi đó cần dùng ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? (làm tròn đến hàng đơn vị)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh bên $SA=SB=SC=SD=200m$, góc $\widehat{ASB}=15^{\circ }$, nên mỗi mặt bên là tam giác cân với góc ở đỉnh $S$ bằng $15^{\circ }$.

Theo hình vẽ, đường gấp khúc $AEFGHIJKLS$ đi từ đỉnh đáy $A$, vòng quanh kim tự tháp qua các cạnh bên (mỗi cạnh bên bị cắt 2 lần, ứng với hai 'vòng' điểm $E,F,G,H,I,J,K$), rồi đến điểm $L$ cố định trên cạnh $SA$ với $LS=40m$, sau đó kết thúc tại $S$.

**Phẳng hóa mặt bên:** Ta triển khai các mặt bên liên tiếp thành một hình quạt. Mỗi mặt tương ứng một góc $15^{\circ }$ tại $S$. Đường gấp khúc ngắn nhất tương ứng với đoạn thẳng trong mặt phẳng triển khai.

Từ $A$ (trên tia $SA$, cách $S$ một khoảng $200$), đường dây vòng quanh qua các mặt và trở lại cạnh $SA$ tại $L$: phải đi qua $8$ mặt liên tiếp, nên tia $S{L}^{\prime }$ (vị trí của $L$ sau khi triển khai) hợp với tia $SA$ một góc bằng $8\times 15^{\circ }=120^{\circ }$, với $S{L}^{\prime }=40m$.

Độ dài đoạn thẳng $A{L}^{\prime }$ theo định lý cosin:
$$A{L}^{\prime }=\sqrt{200^2+40^2-2\cdot 200\cdot 40\cdot \cos 120^{\circ }}=\sqrt{40000+1600+8000}=\sqrt{49600}=40\sqrt{31}\approx 222,71m.$$

Kiểm tra tính hợp lệ: đoạn thẳng này cắt lần lượt các tia $15^{\circ },30^{\circ },\dots ,105^{\circ }$ tại các điểm có khoảng cách tới $S$ nhỏ hơn $200$ (ví dụ tại tia $15^{\circ }$ khoảng cách là $\approx 73,7m$), nên toàn bộ đường nằm trên mặt bên của hình chóp — đường đi khả thi.

Tổng độ dài dây đèn:
$$AEFGHIJKLS=A{L}^{\prime }+LS=40\sqrt{31}+40=40(\sqrt{31}+1)\approx 222,71+40=262,71m.$$

Làm tròn đến hàng đơn vị: $\boxed{263}$ mét. Kết quả trùng với đáp án nguồn (263).