a) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=4,AD=2$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Lấy các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,SD$ sao cho $MA=3MB,\overrightarrow{NS}+4\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Tính thể tích khối tứ diện $SMNC$ và $\sin \alpha$, với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$.

b) Một cuộc diễn tập phóng không được giả lập trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 km ứng với thực tế. Hai drone bay thẳng đều trong hệ trục, xét tại thời điểm $t=0$ drone 1 ở tại điểm $A(2;-3;2)$, bay theo hướng vectơ $\vec{n}=(3;4;-1)$ và có vận tốc $v_1=16\sqrt{26}$ km/h; drone 2 ở tại điểm $B(-3;1;1)$, bay theo hướng vectơ $\vec{b}=(5;2;-1)$ và có vận tốc $v_2=16\sqrt{30}$ km/h. Tìm khoảng cách gần nhất của hai drone này khi ta theo dõi trong 10 phút đầu tiên.

Cho hình chóp $SABCD$, có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AM=x,x\in (0;a)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ và song song với $(SAB)$ lần lượt cắt các cạnh $CB,CS,SD$ tại $N,P,Q$. Để diện tích $MNPQ$ bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{5}$ thì $x=t.a$. Tìm $t$.

Bác An kí hợp đồng làm mái cho một ngôi nhà như hình dưới đây:



Hình ảnh phía trước ngôi nhà



Hình vẽ khung mái nhà

Biết các tam giác $\Delta AD{A}^{\prime },\Delta FMK,\Delta BC{B}^{\prime }$ (gọi là các bức đầu hồi của ngôi nhà) là các tam giác cân tại $D,M,C$ có các đường cao $DH,MP,C{H}^{\prime }$. Các tứ giác $ABCD,A^{\prime }{B}^{\prime }CD$ (mái dọc) là các hình chữ nhật. Các tứ giác $MNEF,MN{B}^{\prime }K$ (mái ngang) là các hình thang vuông tại $M,F,K$. Để đảm bảo sự thông thoáng phía bên trong ngôi nhà, phần tam giác $NE{B}^{\prime }$ không ghép mái. Các bức đầu hồi đã được thi công trước đó. Giá thành làm mái trọn gói trong hợp đồng với chủ nhà là $1250000VND/m^2$. Hỏi số tiền bạc An được trả theo hợp đồng là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn tới hàng đơn vị)?

Ông An có một thanh đá thạch anh màu xanh ngọc dạng hình lăng trụ đứng $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, trong đó $OA=OB=2dm$, $\widehat{AOB}=120^0$, $O{O}^{\prime }=4dm$. Ông mang thanh thạch anh này đến tiệm chuyên gia công và sản xuất đồ lưu niệm yêu cầu chủ tiệm phân chia thanh đá thành ba phần bởi hai mặt phẳng $(CAB)$ và $(DAB)$ sao cho tam giác $CAB$ vuông, tam giác $DAB$ đều. Sau đó, làm một quả cầu pha lê ngoại tiếp khối thạch anh $ABCD$ (4 điểm $A,B,C,D$ thuộc mặt cầu, xem hình minh họa). Chủ tiệm định giá tiền hoàn thành món hàng bằng bình phương thể tích khối thạch anh $ABCD(d{m}^3)$ cộng với bình phương bán kính mặt cầu $(dm)$ ngoại tiếp khối đó rồi nhân với 60 nghìn đồng $((V_{ABCD}^2+R^2).60000)$. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu nghìn đồng cho món đồ lưu niệm của mình?

Trong giờ học môn bóng rổ, một học sinh đang tập ném bóng vào rổ. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) sao cho $(Oxy)$ trùng với mặt đất, chân cột bóng rổ là điểm $H$ thuộc tia $Oy$ sao cho $OH=4$ (m). Lúc bắt đầu ném quả bóng thuộc tia $Oz$ ở độ cao 2 (m). Quả bóng được ném bay lên rồi rơi xuống đất tại vị trí $A$ sao cho $AH=3$ (m) và $AH$ vuông góc với $Oy$. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol $(P)$ luôn nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với mặt đất. Sau khi ném được một lúc, khi quả bóng có hoành độ bằng 2 thì cao độ của nó bằng 3,5. Khi quả bóng có độ cao lớn nhất so với mặt đất thì hoành độ của quả bóng bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng máy bay không người lái để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho những người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc máy bay không người lái làm nhiệm vụ cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía bắc $23km$ và về phía tây $18km$, đồng thời cách mặt đất $2km$. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát về phía nam $22km$ và về phía đông $27km$, đồng thời cách mặt đất $3km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Sau đúng một giờ bay, hai máy bay đó cùng xác định được vị trí cần cứu trợ trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến vị trí cần cứu trợ là nhỏ nhất, lúc đó vị trí cần cứu trợ cách điểm xuất phát của hai máy bay bao nhiêu kilômét?

Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.OMNK$ có chiều cao $450cm$. Phần mái nhà dạng hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{1}{5}$. Điểm $S$ được gọi là đỉnh của mái nhà. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $M$ thuộc tia $Ox$, $K$ thuộc tia $Oy$, $A$ thuộc tia $Oz$ (như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là xentimet ). Mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất. Tâm nền nhà là điểm $H(450;600;0)$. Hỏi đỉnh mái nhà cách mặt đất bao nhiêu mét?.