Cho một hình vuông có 7x7 ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ này gán đúng một số thực sao cho các số ở mỗi hàng ngang, mỗi hàng dọc đều tạo thành một cấp số cộng theo thứ tự từ trái sang phải, từ trên xuống dưới. Vì một số thao tác, trên hình chỉ còn các số như hình vẽ. Tìm số x.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_{ij}$ là số ở hàng $i$, cột $j$ $(i,j=\mathrm{1..7})$. Vì mỗi hàng là cấp số cộng nên hiệu $a_{i,j+1}-a_{i,j}$ không phụ thuộc $j$ (chỉ phụ thuộc $i$); vì mỗi cột là cấp số cộng nên $a_{i+1,j}-a_{i,j}$ không phụ thuộc $i$ (chỉ phụ thuộc $j$). Dạng tổng quát của bảng là mô hình song tuyến $a_{ij}=p+qi+sj+tij$ (không được giả sử $t=0$).

Theo hình vẽ: $2$ ở ô $(1,2)$, $13$ ở ô $(2,7)$, $13$ ở ô $(4,4)$, $1$ ở ô $(7,1)$, và $x=a_{7,6}$. Ta có hệ:
$$p+q+2s+2t=2$$
$$p+2q+7s+14t=13$$
$$p+4q+4s+16t=13$$
$$p+7q+s+7t=1$$

Trừ phương trình đầu khỏi ba phương trình còn lại:
$$q+5s+12t=11;3q+2s+14t=11;6q-s+5t=-1.$$

Từ hai phương trình đầu: $13s+22t=22$. Từ phương trình thứ hai và thứ ba: $q=s+3t-4$, thay vào $q+5s+12t=11$ được $2s+5t=5$. Giải hệ $\{13s+22t=22,2s+5t=5\}$: nhân phương trình thứ hai với $\frac{13}{2}$ và trừ, được $\frac{21}{2}t=\frac{21}{2}$, suy ra $t=1$, $s=0$, $q=-1$, $p=1$.

Kiểm tra: $a_{7,1}=1-7+0+7=1$ đúng; $a_{4,4}=1-4+0+16=13$ đúng; $a_{2,7}=1-2+0+14=13$ đúng; $a_{1,2}=1-1+0+2=2$ đúng.

Vậy $x=a_{7,6}=1+7\cdot (-1)+6\cdot 0+42\cdot 1=36$.

Ghi chú: lời giải AI gốc trong nguồn đã dùng đúng dữ kiện $13$ ở ô $(4,4)$ và lập luận với $t\ne 0$ là chính xác; phản hồi lịch sử cho rằng phải lấy $t=0$ (mô hình tuyến tính) là sai, vì dạng tổng quát bắt buộc phải có số hạng $tij$. Đáp số $x=36$.