Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.OMNK$ có chiều cao $450cm$. Phần mái nhà dạng hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{1}{5}$. Điểm $S$ được gọi là đỉnh của mái nhà. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $M$ thuộc tia $Ox$, $K$ thuộc tia $Oy$, $A$ thuộc tia $Oz$ (như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là xentimet ). Mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất. Tâm nền nhà là điểm $H(450;600;0)$. Hỏi đỉnh mái nhà cách mặt đất bao nhiêu mét?.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-2;3),B(2;1;-4)$. Xét điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $2M{A}^2-3M{B}^2$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu?

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 2 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1,5 km về phía bắc và 3 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,6 km. Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là $a$ km theo hướng nam và $b$ km theo hướng tây. Tính tổng $2a+3b$.

Trong không gian $Oxyz$, Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $OABC$ ? (kết quả làm tròn chính xác đến hàng phần trăm) biết $A(a;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(0;0;b)$ với $|a|+|b|=4$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, $SA=2$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ là hai điểm thay đổi trên hai cạnh $AB,AD$ sao cho mặt phẳng $(SMC)$ vuông góc với mặt phẳng $(SNC)$. Khi thể tích khối chóp $S.AMCN$ đạt giá trị lớn nhất thì $\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{N}^2}=\frac{a}{b}$, $a$ và $b$ nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $a+2b$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA=a\sqrt{2}$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Gọi $M$ ; $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ lên các cạnh $SB$ và $SD$. Khi đó mặt phẳng $(AMN)$ cắt cạnh $SC$ tại $P$. Tỉ số $\frac{SP}{SC}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết rằng $A^{\prime }ABC$ là tứ diện đều có cạnh bằng 2 (m). Cùng một thời điểm, hai chất điểm xuất phát từ $C^{\prime }$ và $A$ di chuyển trên đoạn $C^{\prime }{A}^{\prime }$ và $AM$ (với $M$ là trung điểm của đoạn $BC$) với tốc độ lần lượt là 2 (m/s) và $2\sqrt{3}$ (m/s). Tìm thời điểm (tính theo giây) mà khoảng cách giữa hai chất điểm là ngắn nhất? (làm tròn đến hàng phần trăm).