Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA=a\sqrt{2}$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Gọi $M$ ; $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ lên các cạnh $SB$ và $SD$. Khi đó mặt phẳng $(AMN)$ cắt cạnh $SC$ tại $P$. Tỉ số $\frac{SP}{SC}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết rằng $A^{\prime }ABC$ là tứ diện đều có cạnh bằng 2 (m). Cùng một thời điểm, hai chất điểm xuất phát từ $C^{\prime }$ và $A$ di chuyển trên đoạn $C^{\prime }{A}^{\prime }$ và $AM$ (với $M$ là trung điểm của đoạn $BC$) với tốc độ lần lượt là 2 (m/s) và $2\sqrt{3}$ (m/s). Tìm thời điểm (tính theo giây) mà khoảng cách giữa hai chất điểm là ngắn nhất? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 2. Gọi $O,O^{\prime }$ là tâm của hai đáy $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $I$ là giao điểm của $B{O}^{\prime }$ và $D{B}^{\prime }$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài cạnh bằng 1. Một lục giác $MNPQEF$ thoả mãn các đỉnh $M$, $N$, $P$, $Q$, $E$, $F$ lần lượt thuộc các cạnh $AD$, $AB$, $B{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $D^{\prime }D$ và $MN\parallel BD$, $NP\parallel A{B}^{\prime }$. Chu vi của lục giác $MNPQEF$ nhỏ nhất bằng

Trong không gian, cho hình lăng trụ $ABCD.MNPQ$ có tất cả các cạnh bằng $\sqrt{3}$, đáy $ABCD$ là hình thoi và $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Các mặt phẳng $(ADQM),(ABNM)$ cùng tạo với đáy của lăng trụ góc $\alpha$ thỏa mãn $\tan \alpha =2\sqrt{11}$ và hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(MNPQ)$ nằm bên trong hình thoi $MNPQ$. Gọi $O$ là điểm cách đều bốn đỉnh tứ diện $AMNQ$. Biết thể tích khối chóp $O.ABM$ có giá trị bằng $V$. $V^2=\frac{a}{b}$, $a,b$ là số tự nhiên, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $S=a+b$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-3;7;-5)$, $B(-5;-4;4)$ và vectơ $\vec{u}=(2;-2;0)$. Các điểm $M$, $N$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\vec{u}$ và $MN=8\sqrt{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\left|AM-BN\right|$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Cho tam giác ABC đều cạnh 4 và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Các điểm M và N thay đổi trên Δ sao cho ΔMHN vuông tại H.

a) Chứng minh đường thẳng MH vuông góc với mặt phẳng (NBC).

b) Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN.

c) Gọi K là điểm thay đổi trên đoạn thẳng AH (K ≠ A, K ≠ H). Gọi $K_1,K_2,K_3,K_4$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm K lên các mặt phẳng (NBC), (MBC), (MNC), (MNB). Chứng minh $K{K}_1^2+K{K}_2^2+K{K}_3^2+K{K}_4^2\ge 4$.