Gieo một con xúc xắc và một đồng tiền cân đối đồng chất. Xác suất để xúc xắc xuất hiện mặt lẻ chấm và đồng tiền xuất hiện mặt sấp bằng

Cho số thực dương $a$ khác 1, giá trị của ${\log }_{a^3}a$ bằng

Với $a$, $b$ là các số thực dương bất kì, ${\log }_2\frac{a}{b^2}$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt{a^5}$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $B{C}^{\prime }$?

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc của một phép thử, biết $P(A)=\frac{1}{5}$ và $P(B)=\frac{1}{3}$. Giá trị của $P(A\cup B)$ bằng

Cho hình chóp $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và $OA=OB=OC=a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB,BC$. Góc giữa hai đường thẳng $OC$ và $MN$ bằng

Cho $a,b,c$ là ba số thực dương khác 1. Đồ thị các hàm số $y=a^x$, $y={\log }_{b}x$, $y={\log }_{c}x$ được cho như hình vẽ bên dưới

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{2}$, $AC=a$.

Cho ${\log }_{a}b=2$ và ${\log }_{a}c=3$. Tính $P={\log }_{\sqrt{a}}{b}^2{c}^3$.

Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7\%/ năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào với vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó lĩnh được số tiền (cả tiền gửi ban đầu lẫn tiền lãi) nhiều hơn 200 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suất không đổi?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA=a\sqrt{2}$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Gọi $M$ ; $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ lên các cạnh $SB$ và $SD$. Khi đó mặt phẳng $(AMN)$ cắt cạnh $SC$ tại $P$. Tỉ số $\frac{SP}{SC}$ bằng bao nhiêu?

Cho một bảng ô vuông 3x3 như hình vẽ bên dưới. Điền ngẫu nhiên 9 số thuộc tập hợp $X=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$ vào 9 ô vuông trong bảng (mỗi ô điền một số khác nhau). Gọi $A$ là biến cố "mỗi hàng, mỗi cột trong bảng đều có ít nhất một số lẻ". Biết xác suất $P(A)=\frac{a}{b}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $S=a-b$ bằng bao nhiêu?

Giải các phương trình sau:

a) $4^{2x+3}=8^{4-x}$.

b) ${\log }_{0,25}\left(x^2-3x\right)=-1$.

Trong đợt xét tuyển đại học năm 2026, hai bạn Thành và Đạt cùng tham gia xét tuyển bằng phương pháp xét điểm thi tốt nghiệp THPT. Xác suất trúng tuyển nguyện vọng 1 của Thành và Đạt tương ứng là 0,8 và 0,9. Tính xác suất để có ít nhất một trong hai bạn Thành và Đạt đỗ nguyện vọng 1 biết rằng hai bạn có nguyện vọng 1 khác nhau.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$ và đáy $ABC$ vuông tại $B$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các cạnh $SB$, $SC$.

a) Chứng minh $AH$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$.

b) Giả sử $HK$ cắt $BC$ tại $D$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $AD$.