Cho một bảng ô vuông 3x3 như hình vẽ bên dưới. Điền ngẫu nhiên 9 số thuộc tập hợp $X=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}$ vào 9 ô vuông trong bảng (mỗi ô điền một số khác nhau). Gọi $A$ là biến cố "mỗi hàng, mỗi cột trong bảng đều có ít nhất một số lẻ". Biết xác suất $P(A)=\frac{a}{b}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó $S=a-b$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách điền: $10!=3628800$. Trong tập $X$ có 5 số lẻ $(1,3,5,7,9)$ và 5 số chẵn $(0,2,4,6,8)$. Biến cố $A$ chỉ phụ thuộc vào vị trí 5 ô chứa số lẻ: cần chọn 5 ô trong 9 ô sao cho mỗi hàng, mỗi cột đều có ít nhất một ô được chọn, sau đó gán số: $5!$ cách xếp số lẻ và $5!$ cách xếp số chẵn.

Đếm số cách chọn 5 ô với mỗi hàng có ít nhất 1 ô lẻ (tổng 5 ô, mỗi hàng ≥1): các phân bố $(3,1,1)$ và $(2,2,1)$.
- Trường hợp $(3,1,1)$: chọn hàng có 3 ô lẻ (3 cách); hàng này phủ cả 3 cột nên hai hàng còn lại chỉ cần mỗi hàng có 1 ô lẻ, tự do chọn cột: $3\cdot 3=9$ cách. Tổng: $3\cdot 9=27$.
- Trường hợp $(2,2,1)$: chọn hàng có 1 ô lẻ (3 cách), chọn cột của ô đó (3 cách) — cột này đã được phủ. Hai hàng còn lại mỗi hàng chọn 2 cột trong 3 cột: mỗi hàng có $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ cách, tổng $9$ tổ hợp. Cần hợp của hai cặp phủ được 2 cột còn lại; có đúng 2 tổ hợp xấu (cả hai hàng cùng chọn cặp gồm cột đã phủ và cùng một cột còn lại, khiến một cột thiếu ô lẻ). Vậy còn $9-2=7$ cách. Tổng: $3\cdot 3\cdot 7=63$.

Vậy số cách chọn vị trí ô lẻ: $27+63=90$. Số cách điền thuận lợi: $90\cdot (5!{)}^2=90\cdot 14400=1296000$.

$$P(A)=\frac{90\cdot (5!{)}^2}{10!}=\frac{90}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{5}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)}\cdot \frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)}{1}=\frac{90}{252}=\frac{5}{14}$$

Cụ thể: $\frac{1296000}{3628800}=\frac{5}{14}$, nên $a=5$, $b=14$ (phân số tối giản vì $\gcd (5,14)=1$).

$$S=a-b=5-14=-9$$