Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$ và đáy $ABC$ vuông tại $B$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các cạnh $SB$, $SC$.

a) Chứng minh $AH$ vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$.

b) Giả sử $HK$ cắt $BC$ tại $D$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $AD$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu a)** Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$, mà $AH\subset (SAB)$ nên $BC\perp AH$. Lại có $AH\perp SB$ (giả thiết $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$), với $SB\subset (SBC)$, $BC\subset (SBC)$, $SB\cap BC=B$. Vậy $AH\perp (SBC)$.

**Câu b)** Vì $AK\perp SC$ (giả thiết) và $HK$ là hình chiếu của $AK$ trên $(SBC)$, theo định lý ba đường vuông góc ta có $HK\perp SC$.

Xét mặt phẳng $(AHK)$: $SC\perp AK$, $SC\perp HK$, trong đó $AK\subset (AHK)$, $HK\subset (AHK)$, $AK\cap HK=K$. Suy ra $SC\perp (AHK)$.

Vì $D=HK\cap BC$ nên $D\in HK\subset (AHK)$, do đó $AD\subset (AHK)$, suy ra $SC\perp AD$. Mặt khác $D\in BC\subset (ABC)$ nên $AD\subset (ABC)$, mà $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AD$.

Ta có $AD\perp SC$, $AD\perp SA$, với $SC\subset (SAC)$, $SA\subset (SAC)$, $SA\cap SC=S$. Vậy $AD\perp (SAC)$, suy ra $AD\perp AC$.

Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $B=(0;0;0)$, $A=(a;0;0)$, $C=(0;b;0)$, $S=(a;0;h)$. Khi đó
$$H=\left(\frac{a^3}{a^2+h^2};0;\frac{a^{2}h}{a^2+h^2}\right),K=\left(\frac{a(a^2+b^2)}{T};\frac{b{h}^2}{T};\frac{h(a^2+b^2)}{T}\right),T=a^2+b^2+h^2.$$

Đường thẳng $HK$ cắt trục $Oy$ (đường thẳng $BC$) tại $D=(0;y_D;0)$ với tham số $\lambda =-\frac{a^{2}T}{b^2{h}^2}$ (thỏa cả hai điều kiện $x=0$ và $z=0$), cho
$$y_D=\lambda \cdot \frac{b{h}^2}{T}=-\frac{a^2}{b}.$$

Khi đó $\overrightarrow{AC}=(-a;b;0)$, $\overrightarrow{AD}=\left(-a;-\frac{a^2}{b};0\right)$ nên
$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2+b\cdot \left(-\frac{a^2}{b}\right)=0,$$

tức $AC\perp AD$ (khớp với kết quả tổng quát ở trên).

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $AD$ bằng $90^{\circ }$.