Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{2}$, $AC=a$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AC=a$ bằng cạnh hình thoi nên tam giác $ABC$ và $ACD$ đều cạnh $a$, suy ra $BD=a\sqrt{3}$. a) Trong hình thoi $AC\perp BD$; lại có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$. Do đó $AC\perp (SBD)$, kéo theo $AC\perp SB$: đúng. b) $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$: đúng. c) $BD\perp AC$ (tính chất hình thoi) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), với $AC,SA$ cắt nhau trong $(SAC)$ nên $BD\perp (SAC)$: đúng. d) Tọa độ hóa: $A(0;0;0)$, $C(a;0;0)$, $B(a/2;a\sqrt{3}/2;0)$, $D(a/2;-a\sqrt{3}/2;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$. Khi đó $\overrightarrow{SD}=(a/2;-a\sqrt{3}/2;-a\sqrt{2})$, $|SD|=\sqrt{a^2/4+3a^2/4+2a^2}=a\sqrt{3}$, và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SD}=a^2/2$. Suy ra $\cos \phi =\frac{a^2/2}{a\cdot a\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$: đúng. Cả bốn ý a), b), c), d) đều đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ (hình thoi) và $AC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nên $AC\perp (SBD)$, suy ra $AC\perp SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt đáy, kể cả $BC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ (tính chất hình thoi) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), $AC$ cắt $SA$ tại $A$ trong $(SAC)$, nên $BD\perp (SAC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A(0;0;0)$, $C(a;0;0)$, $D(a/2;-a\sqrt{3}/2;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$: $\overrightarrow{SD}=(a/2;-a\sqrt{3}/2;-a\sqrt{2})$, $|SD|=a\sqrt{3}$, $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SD}=a^2/2$, nên $\cos \phi =\frac{a^2/2}{a^2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.