Cho $a,b,c$ là ba số thực dương khác 1. Đồ thị các hàm số $y=a^x$, $y={\log }_{b}x$, $y={\log }_{c}x$ được cho như hình vẽ bên dưới

[Hình cần kiểm tra lại: p2_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=a^x$ nghịch biến nên $0<a<1$; $y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ đều đồng biến nên $b>1$, $c>1$. Trên $(1;+\infty )$ đường $y={\log }_{b}x$ nằm trên $y={\log }_{c}x$ nên với $x>1$: ${\log }_{b}x>{\log }_{c}x$, suy ra $b<c$. Vậy $0<a<1<b<c$.
a) $y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ vì $c>1$ → sai.
b) $a^0=1$ với mọi $a>0$ nên đồ thị $y=a^x$ đi qua $A(0;1)$ → đúng.
c) Ta có $0<a<1<b<c$ nên $a<c<b$ sai (thực tế $a<b<c$) → sai.
d) Đường thẳng $x=5$ cắt trục hoành tại $P(5;0)$, cắt $y={\log }_{c}x$ tại $M(5;{\log }_{c}5)$, cắt $y={\log }_{b}x$ tại $N(5;{\log }_{b}5)$. Vì $b<c$ nên ${\log }_{b}5>{\log }_{c}5>0$. $PN={\log }_{b}5$, $MN={\log }_{b}5-{\log }_{c}5$. Điều kiện $PN=3MN$: ${\log }_{b}5=3({\log }_{b}5-{\log }_{c}5)⟹3{\log }_{c}5=2{\log }_{b}5⟹\frac{3}{\ln c}=\frac{2}{\ln b}⟹3\ln b=2\ln c⟹b=c^{2/3}\ne c^4$ → sai.
a) Vì $c>1$ nên $y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến.
b) Với mọi $a>0$, $a^0=1$ nên đồ thị $y=a^x$ luôn đi qua $A(0;1)$.
c) Từ đồ thị: $0<a<1$ ($a^x$ nghịch biến), $b>1$, $c>1$ và ${\log }_{b}x>{\log }_{c}x$ với $x>1$ nên $b<c$. Vậy thứ tự đúng là $a<b<c$, không phải $a<c<b$.
d) $P(5;0)$, $M(5;{\log }_{c}5)$, $N(5;{\log }_{b}5)$ với ${\log }_{b}5>{\log }_{c}5>0$. $PN={\log }_{b}5$, $MN={\log }_{b}5-{\log }_{c}5$. $PN=3MN⟹3{\log }_{c}5=2{\log }_{b}5⟹3\ln b=2\ln c⟹b=c^{2/3}$, không phải $b=c^4$.