Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 2. Gọi $O,O^{\prime }$ là tâm của hai đáy $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $I$ là giao điểm của $B{O}^{\prime }$ và $D{B}^{\prime }$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài cạnh bằng 1. Một lục giác $MNPQEF$ thoả mãn các đỉnh $M$, $N$, $P$, $Q$, $E$, $F$ lần lượt thuộc các cạnh $AD$, $AB$, $B{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $D^{\prime }D$ và $MN\parallel BD$, $NP\parallel A{B}^{\prime }$. Chu vi của lục giác $MNPQEF$ nhỏ nhất bằng

Trong không gian, cho hình lăng trụ $ABCD.MNPQ$ có tất cả các cạnh bằng $\sqrt{3}$, đáy $ABCD$ là hình thoi và $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Các mặt phẳng $(ADQM),(ABNM)$ cùng tạo với đáy của lăng trụ góc $\alpha$ thỏa mãn $\tan \alpha =2\sqrt{11}$ và hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(MNPQ)$ nằm bên trong hình thoi $MNPQ$. Gọi $O$ là điểm cách đều bốn đỉnh tứ diện $AMNQ$. Biết thể tích khối chóp $O.ABM$ có giá trị bằng $V$. $V^2=\frac{a}{b}$, $a,b$ là số tự nhiên, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $S=a+b$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-3;7;-5)$, $B(-5;-4;4)$ và vectơ $\vec{u}=(2;-2;0)$. Các điểm $M$, $N$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\vec{u}$ và $MN=8\sqrt{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\left|AM-BN\right|$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Cho tam giác ABC đều cạnh 4 và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Các điểm M và N thay đổi trên Δ sao cho ΔMHN vuông tại H.

a) Chứng minh đường thẳng MH vuông góc với mặt phẳng (NBC).

b) Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN.

c) Gọi K là điểm thay đổi trên đoạn thẳng AH (K ≠ A, K ≠ H). Gọi $K_1,K_2,K_3,K_4$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm K lên các mặt phẳng (NBC), (MBC), (MNC), (MNB). Chứng minh $K{K}_1^2+K{K}_2^2+K{K}_3^2+K{K}_4^2\ge 4$.

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam $A$ cách mặt đất $5m$, cách điểm xuất phát $3m$ về phía Nam và $2m$ về phía Đông. Chiếc flycam $B$ cách mặt đất $5m$, cách điểm xuất phát $6m$ về phía Bắc và $6m$ về phía Tây. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất có trục $Ox$ hướng về phía Nam, trục $Oy$ hướng về phía Đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét (xem hình vẽ).



Trên mặt đất người ta xác định một vị trí $M(a;b;c)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính $b-a+c$.

(3,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AD\parallel BC$, $AB=BC=a$, $AD=2a$. Tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và $SB=a\sqrt{3}$.
1. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$, chứng minh rằng $BM\parallel (SCD)$.
2. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $BM$ và $CD$.
3. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, $H$ là giao điểm của đường thẳng $BG$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính tỉ số $\frac{HB}{HG}$.