Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết rằng góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là $30^{\circ }$, tam giác $A^{\prime }BC$ có diện tích bằng 18.

Khối chóp S.ABCDE có khoảng cách từ đỉnh S đến mp(ABCDE) là 12, Diện tích của đa giác ABCDE là 16. Thể tích của khối chóp đã cho là bao nhiêu?

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh a, Góc giữa $A^{\prime }C$ và mp$(ABC)$ là $60^0$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(A'BC) với I là điểm thuộc AB sao cho AI = 3IB

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại cân tại $B$ có $AC=a\sqrt{3}$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=3a$. Thể tích của khối lăng trụ tương ứng bằng V. Tính giá trị $\frac{V}{10a}$ (hàng phần chục)

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Tam giác $A^{\prime }AB$ cân tại $A^{\prime }$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, mặt bên $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $60^0$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là

Trong không gian, cho hình lăng trụ $ABCD.MNPQ$ có tất cả các cạnh bằng $\sqrt{3}$, đáy $ABCD$ là hình thoi và $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Các mặt phẳng $(ADQM),(ABNM)$ cùng tạo với đáy của lăng trụ góc $\alpha$ thỏa mãn $\tan \alpha =2\sqrt{11}$ và hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(MNPQ)$ nằm bên trong hình thoi $MNPQ$. Gọi $O$ là điểm cách đều bốn đỉnh tứ diện $AMNQ$. Biết thể tích khối chóp $O.ABM$ có giá trị bằng $V$. $V^2=\frac{a}{b}$, $a,b$ là số tự nhiên, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $S=a+b$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình thang cân, $AB=BC=CD=a$, $AD=2a$. Biết rằng góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Gọi $O$ là trung điểm của $AD$.