Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C=a$. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $H$ là trung điểm $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C=a$ nên $A^{\prime }$ nằm trên đường thẳng qua tâm $O$ vuông góc với $(ABC)$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ là $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$, suy ra chiều cao lăng trụ $h=A^{\prime }O=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

a) Đúng. Tam giác $ABC$ đều nên $AH\perp BC$; tam giác $A^{\prime }BC$ cân tại $A^{\prime }$ nên $A^{\prime }H\perp BC$. Do đó $BC\perp (A^{\prime }AH)$. Mà $BC\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $(A^{\prime }AH)\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, góc giữa hai mặt phẳng bằng $90^{\circ }$.

b) Sai. $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, nên $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}\ne \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.

c) Đúng. $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ nên $d(B{B}^{\prime },(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(B,(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(B,AC)$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$). Trong tam giác đều $ABC$, khoảng cách từ $B$ đến $AC$ là đường cao $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

d) Sai. Nhị diện $[A^{\prime },BC,A]$ có cạnh $BC$; vì $A^{\prime }H\perp BC$, $AH\perp BC$ nên góc nhị diện là $\widehat{A^{\prime }HA}$. Ta có $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $A^{\prime }H=\sqrt{h^2+A{O}^2}$ với $AO=\frac{a}{\sqrt{3}}$: $A^{\prime }H=\sqrt{\frac{2a^2}{3}+\frac{a^2}{3}}=a$. Suy ra $\tan \alpha =\frac{A^{\prime }O}{AH}=\frac{a\sqrt{6}/3}{a\sqrt{3}/2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\ne 2\sqrt{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AH\perp BC$ và $A^{\prime }H\perp BC$ nên $BC\perp (A^{\prime }AH)$, do đó $(A^{\prime }AH)\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(B{B}^{\prime },(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(B,AC)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{A^{\prime }O}{AH}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\ne 2\sqrt{2}$.