Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2a$, $AD=a$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $AB$, kẻ đường cao $HE$ trong tam giác $SBH$. Gọi $K$ là trung điểm $CD$, biết rằng $\widehat{SCH}=45^{\circ }$. Khi đó, hãy xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của S là H trung điểm AB nên SH ⊥ (ABCD). Ta có HB = a, BC = a nên HC = a√2. Vì ∠SCH = 45° nên SH = HC·tan45° = a√2.
a) BC ⊥ AB (chữ nhật) và BC ⊥ SH nên BC ⊥ (SAB). Do đó góc giữa BC và (SAB) bằng 90°, không phải 60° → sai.
b) HK ∥ BC nên HK ⊥ CD; SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ CD. Vậy CD ⊥ (SHK) → đúng.
c) Vì BC ⊥ (SAB) nên (SBC) ⊥ (SAB) theo giao tuyến SB. Khi đó d(H,(SBC)) = d(H,SB) trong mặt phẳng (SAB), mà HE là đường cao từ H xuống SB trong tam giác SBH nên d(H,(SBC)) = HE → đúng.
d) Vì CD ⊥ (SHK) nên (SCD) ⊥ (SHK) theo giao tuyến SK. Do đó d(H,(SCD)) = d(H,SK) trong mặt phẳng (SHK). Tam giác SHK vuông tại H với SH = a√2, HK = BC = a, nên SK = √(2a² + a²) = a√3. Diện tích tam giác SHK = ½·SH·HK = a²√2/2. Khoảng cách d(H,(SCD)) = 2·S/SK = (a²√2)/(a√3) = a√6/3 ≠ a√6/2 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ AB và BC ⊥ SH nên BC ⊥ (SAB); góc giữa BC và (SAB) bằng 90°, không phải 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
HK ∥ BC nên HK ⊥ CD, và SH ⊥ CD vì SH ⊥ (ABCD). Vậy CD ⊥ (SHK).
c) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ (SAB) nên (SBC) ⊥ (SAB) theo giao tuyến SB, do đó d(H,(SBC)) = d(H,SB) = HE.
d) (AI giải đề cho tôi)
CD ⊥ (SHK) nên d(H,(SCD)) = d(H,SK) trong (SHK). Với SH = a√2, HK = a, SK = a√3, diện tích tam giác SHK = a²√2/2, nên d = 2S/SK = a√6/3 ≠ a√6/2.