Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $BC=a$, $AC=2a$, $A^{\prime }A=a\sqrt{3}$. Tính góc giữa mặt phẳng $(A^{\prime }BC{D}^{\prime })$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $BC=a$, $AC=2a$ nên $AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$; $A^{\prime }A=a\sqrt{3}$.
Hai mặt phẳng $(A^{\prime }BC{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$ cắt nhau theo giao tuyến $BC$. Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên $(ABCD)$ là $A$, mà $AB\perp BC$ nên $A^{\prime }B\perp BC$ (theo định lý ba đường vuông góc). Vậy góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{A^{\prime }BA}$.
Tam giác $A^{\prime }AB$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{A^{\prime }BA}=\frac{A^{\prime }A}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}}=1$, suy ra $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }$.