Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ vuông góc với nhau, $SB=a\sqrt{3}$, góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là $45^{\circ }$ và $\widehat{ASB}=30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(b;0;0)$, $S(0;0;h)$, $C(x;y;0)$ vì $SA\perp (ABC)$.

a) Vì $SA\perp (ABC)$ và $SA\subset (SAB)$ nên $(SAB)\perp (ABC)$. Đúng.

Điều kiện $(SBC)\perp (SAB)$: mặt phẳng $(SAB)$ là $y=0$. Vectơ pháp tuyến của $(SBC)$ là $\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(hy;h(b-x);by)$. Để vuông góc với $(0;1;0)$ cần $h(b-x)=0\Rightarrow x=b$, tức $C$ có hình chiếu thẳng hàng với $B$ theo phương $AB$, suy ra $BC\perp AB$.

c) Từ trên, $\overrightarrow{AB}=(b;0;0)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;y;0)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$: $AB\perp CB$. Đúng.

Tính toán kích thước: $\widehat{ASB}=30^{\circ }$ với $\cos \widehat{ASB}=\frac{h}{\sqrt{b^2+h^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow h^2=3b^2$. Kết hợp $SB=\sqrt{b^2+h^2}=a\sqrt{3}\Rightarrow 4b^2=3a^2$, suy ra $b=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $h=\frac{3a}{2}$.

Vì $(SBC)\perp (SAB)$ cắt nhau theo $SB$, hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$ nằm trên $SB$, nên góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là $\widehat{CSB}=45^{\circ }$: $\cos 45^{\circ }=\frac{\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{SC}}{SB\cdot SC}=\frac{b^2+h^2}{a\sqrt{3}\cdot SC}=\frac{3a^2}{a\sqrt{3}\cdot SC}\Rightarrow SC=a\sqrt{6}$. Do đó $S{C}^2=b^2+y^2+h^2=3a^2+y^2=6a^2\Rightarrow y=a\sqrt{3}$.

b) Tam giác $SBC$: $S{B}^2=3a^2$, $S{C}^2=6a^2$, $B{C}^2=y^2=3a^2$. Vì $S{C}^2+B{C}^2=9a^2\ne S{B}^2$ và $S{B}^2+B{C}^2\ne S{C}^2$, $S{B}^2+S{C}^2\ne B{C}^2$ nên tam giác $SBC$ không vuông tại $C$ (thực tế $S{B}^2=S{C}^2-B{C}^2$, góc tại $B$ tù... kiểm tra: $S{C}^2=S{B}^2+B{C}^2$ không thỏa, góc $SBC$ có $\cos \widehat{SBC}=\frac{S{B}^2+B{C}^2-S{C}^2}{2\cdot SB\cdot BC}=\frac{3a^2+3a^2-6a^2}{2\cdot a\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}}=0$, tức vuông tại $B$, không phải tại $C$). Sai.

d) $V=\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3a}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{8}$. Suy ra $\frac{a^3}{V}=\frac{8}{3}\ne \frac{3}{8}$. Sai.

Kết luận: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ và $SA\subset (SAB)$ nên $(SAB)\perp (ABC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $SB=a\sqrt{3}$, $SC=a\sqrt{6}$, $BC=a\sqrt{3}$. Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ (vì $S{C}^2=S{B}^2+B{C}^2$), không vuông cân tại $C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $(SBC)\perp (SAB)$ suy ra hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$ nằm trên $SB$, kết hợp $SA\perp (ABC)$ dẫn đến $BC\perp AB$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$SA=\frac{3a}{2}$, $AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $BC=a\sqrt{3}$ nên $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3a}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{8}$, do đó $\frac{a^3}{V}=\frac{8}{3}\ne \frac{3}{8}$.