Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AC=2a$ và $A^{\prime }B=3a$. Tính góc phẳng nhị diện $[B^{\prime },AC,B]$?

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $AC=2a$ nên $AB=BC=a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $AC$ thì $BM\perp AC$ và $BM=\frac{AC}{2}=a$. Vì lăng trụ đứng nên $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $B^{\prime }M\perp AC$ (đường vuông góc chung xuống $AC$ từ $B^{\prime }$). Góc phẳng nhị diện $[B^{\prime },AC,B]$ là $\widehat{B^{\prime }MB}$. Tam giác $B^{\prime }BM$ vuông tại $B$: $B^{\prime }{B}^2=A^{\prime }{B}^2-A{B}^2=9a^2-2a^2=7a^2$, nên $\tan \widehat{B^{\prime }MB}=\frac{B^{\prime }B}{BM}=\frac{a\sqrt{7}}{a}=\sqrt{7}$. Vậy góc phẳng nhị diện bằng $\arctan \sqrt{7}\approx 69,3^{\circ }$.