Câu 97Học KỳChuyên đề: Khoảng cách hai mặt hoặc đường và mặt song song • Lớp 11Chứng minh đường song song mặtVận dụng#secondary:M11.G03.LINE_PLANE_PARALLEL.L3.PROOF#curriculum:undetermined
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A'D'. Tính d((MNP), (ACC')).
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A'D'. Tính d((MNP), (ACC')).
Đáp án chính thức: a√2/4
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;h) với h là chiều cao lăng trụ. Khi đó M(0; a/2; 0), N(a/2; a; 0), P(0; a/2; h). Ta có MN = (a/2; a/2; 0) cùng phương với AC = (a; a; 0), và MP = (0;0;h) cùng phương với AA' = (0;0;h), nên (MNP) ∥ (ACC'). Mặt phẳng (ACC') đi qua A chứa các vectơ AC = (a;a;0) và AA' = (0;0;h), vectơ pháp tuyến n = AC × AA' = (ah; -ah; 0), chọn n = (1; -1; 0), phương trình mặt phẳng: x - y = 0. Khoảng cách từ M(0; a/2; 0) đến mặt phẳng x - y = 0 là d = |0 - a/2|/√2 = a/(2√2) = a√2/4. Kết quả không phụ thuộc chiều cao lăng trụ. Vậy d((MNP), (ACC')) = a√2/4.
Chọn hệ tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;h) với h là chiều cao lăng trụ. Khi đó M(0; a/2; 0), N(a/2; a; 0), P(0; a/2; h). Ta có MN = (a/2; a/2; 0) cùng phương với AC = (a; a; 0), và MP = (0;0;h) cùng phương với AA' = (0;0;h), nên (MNP) ∥ (ACC'). Mặt phẳng (ACC') đi qua A chứa các vectơ AC = (a;a;0) và AA' = (0;0;h), vectơ pháp tuyến n = AC × AA' = (ah; -ah; 0), chọn n = (1; -1; 0), phương trình mặt phẳng: x - y = 0. Khoảng cách từ M(0; a/2; 0) đến mặt phẳng x - y = 0 là d = |0 - a/2|/√2 = a/(2√2) = a√2/4. Kết quả không phụ thuộc chiều cao lăng trụ. Vậy d((MNP), (ACC')) = a√2/4.
