Một hộp phấn không bụi có dạng hình hộp chữ nhật, chiều cao hộp phấn bằng $8,2cm$ và đáy của nó có hai kích thước là $8,5cm;10,5cm$ (xem hình vẽ sau). Tìm góc phẳng nhị diện $[A,B^{\prime }{D}^{\prime },A^{\prime }]$ (tính theo độ, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Hộp phấn là hình hộp chữ nhật với $A{A}^{\prime }=8,2$ cm, $A^{\prime }{D}^{\prime }=8,5$ cm, $A^{\prime }{B}^{\prime }=10,5$ cm. Góc nhị diện $[A,B^{\prime }{D}^{\prime },A^{\prime }]$ có cạnh $B^{\prime }{D}^{\prime }$, hai mặt là $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và mặt trên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A^{\prime }$ xuống $B^{\prime }{D}^{\prime }$ trong mặt trên. Vì $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $A{A}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, kết hợp $A^{\prime }H\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$ suy ra $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp (A{A}^{\prime }H)$, do đó $AH\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Vậy góc $AH{A}^{\prime }$ là góc phẳng nhị diện cần tìm, gọi là $\phi$.

Trong mặt trên, khoảng cách từ $A^{\prime }$ đến $B^{\prime }{D}^{\prime }$:
$$A^{\prime }H=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }\cdot A^{\prime }{D}^{\prime }}{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{10,5\cdot 8,5}{\sqrt{10,5^2+8,5^2}}=\frac{89,25}{\sqrt{182,5}}\approx 6,6065\text{ cm}.$$

Tam giác $AH{A}^{\prime }$ vuông tại $A$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $A{A}^{\prime }\perp A^{\prime }H$), do đó:
$$AH=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A^{\prime }{H}^2}=\sqrt{8,2^2+6,6065^2}=\sqrt{67,24+43,646}\approx 10,5305\text{ cm}.$$

Suy ra:
$$\cos \phi =\frac{A^{\prime }H}{AH}=\frac{6,6065}{10,5305}\approx 0,6274\Rightarrow \phi \approx 51,1^{\circ }.$$

Vậy góc phẳng nhị diện $[A,B^{\prime }{D}^{\prime },A^{\prime }]$ xấp xỉ $51,1^{\circ }$, khớp với đáp án đã cho.