Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=AD=2a$, $CD=2a\sqrt{2}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{DAB}=90^0$. Góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng $45^0$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD$ bằng $\frac{a\sqrt{2k}}{k}$. Tìm $k$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0,0,0)$, $B=(2a,0,0)$, $D=(0,0,2a)$ vì $\widehat{DAB}=90^{\circ }$, $AD=2a$.

Vì $\widehat{ABC}=90^{\circ }$ nên $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AB}$, suy ra $C=(2a,y,z)$ với $\overrightarrow{BC}=(0,y,z)$.

Góc giữa $AD$ (hướng $(0,0,1)$) và $BC$ bằng $45^{\circ }$: $\frac{|z|}{\sqrt{y^2+z^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y^2=z^2$.

Điều kiện $CD=2a\sqrt{2}$: $|C-D{|}^2=4a^2+y^2+(z-2a{)}^2=8a^2$. Với $y^2=z^2=4a^2$: $4a^2+4a^2+(z-2a{)}^2=8a^2\Rightarrow z=2a$, do đó $y=2a$.

Vậy $C=(2a,2a,2a)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{BC}=(0,2a,2a)$, $|BC|=2a\sqrt{2}$, góc với $AD$ bằng $45^{\circ }$; $\overrightarrow{CD}=(2a,2a,0)$, $|CD|=2a\sqrt{2}$ — thỏa mọi giả thiết.

Khoảng cách giữa $AC$ (hướng ${\vec{u}}_1=(1,1,1)$) và $BD$ (hướng ${\vec{u}}_2=(-1,0,1)$):
$${\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2=(1,-2,1),|{\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2|=\sqrt{6}.$$
$$h=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot ({\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2)|}{\sqrt{6}}=\frac{|(2a,0,0)\cdot (1,-2,1)|}{\sqrt{6}}=\frac{2a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{2k}}{k}.$$

So sánh: $2k=6\Rightarrow k=3$, khớp với đáp án nguồn.